.14 Поверхностные интегралы 1 и 2 рода

Если мы провращаем график при

Вокруг оси , то у нас получится при каждом окружность радиуса в плоскости, параллельной оси , то есть уравнение этой поверхности будет . Выглядеть она будет так:

Наша подынтегральная форма говорит о том, что мы брали проекции кусков поверхности на плоскость . И как раз наша поверхность задаётся явной функцией следующим образом: , , .

Далее, поскольку нормали направлены вне поверхности, то есть следующим образом:

То эти нормали составляют с осями правую тройку (они смотрят в ту же сторону, что и ось ).

Поэтому в формуле сведения поверхностного интеграла II рода к двойному мы будем брать двойной интеграл по со знаком плюс:

И интеграл справа уже двойной. Его мы вычислим переходом в полярную систему координат: , , а Якобиан такой замены:

С учётом этого, получаем:

Где . Далее работает теорема Фубини:

Ответ: .