Тема 6. Решение уравнений

6.05 Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1452Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

√-------- 13x − 40 = x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $13x − 40 ≥ 0.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2 2 13x − 40 = x ⇔ x − 13x+ 40 = 0

Дискриминант $D = 169− 160 = 9 = 32.$ Корни

x = 13-+3-= 8, x = 13-−-3= 5 1 2 2 2

Подставив их в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются корнями исходного уравнения. Наименьший корень равен 5.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1453Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

∘ -4-----1- 4-x + 2- = x 7 7

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4 1 47x+ 27 ≥ 0.$ Решим на ОДЗ:

4 4x+ 21 = x2 ⇔ x2 − 44x − 21 = 0 7 7 7 7

Дискриминант

1024 60 1444 ( 38)2 D = -49- + 7-= -49--= 7-

Корни

x1 = 1(32 + 38) = 5, x2 = 1 (32-− 38) = − 3 2 7 7 2 7 7 7

Подставим в исходное уравнение $x = 5 : 1$

∘--4------1 4 -⋅5 +2 -= 5 7 7

– верное равенство. Подставим в исходное уравнение $x2 = − 37 :$

∘ ----(---)------ 44 ⋅ −-3 + 21 = − 3 7 7 7 7

Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит $3 x2 = − 7$ – не корень исходного уравнения.

Ответ: $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1454Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $------- √x +3,25= −1,5x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ − 3,25.$ Решим на ОДЗ:

2 2 x+ 3,25 = 2,25x ⇔ 2,25x − x− 3,25 = 0

Дискриминант

117 121 ( 11)2 D = 1 + -4- = -4-= -2

Корни

x1 = 1−-5,5-= − 1, x2 = 1-+-5,5-= 13 4,5 4,5 9

Подставим в исходное уравнение $x1 = − 1 :$

∘ --------- − 1+ 3,25 = − 1,5⋅(− 1)

– верное равенство. Подставим в исходное уравнение $x = 13: 2 9$

∘--------- 13 13 9 + 3,25 = − 1,5⋅ 9

Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит единственный корень $x = − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1455Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

√------ √ - 2x + 6 = 2 2x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x + 6 ≥ 0,$ что равносильно $x ≥ − 3.$ Решим на ОДЗ:

2 2 2x + 6 = 8x ⇔ 8x − 2x− 6 = 0

Дискриминант

D = 4+ 192 = 196 = 142

Корни

2 +14 2 − 14 x1 = ------= 1, x2 =------= − 0,75 16 16

Подставим в исходное уравнение $x1 = 1 :$

------- √ - √2 ⋅1+ 6 = 2 2⋅1

– верное равенство. Подставим в исходное уравнение $x2 = − 0,75 :$

∘ ------------- √ - 2⋅(− 0,75)+ 6 = 2 2⋅(− 0,75)

Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит $x2 = − 0,75$ – не корень исходного уравнения. Ответ: $x = 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#17128Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√----- 72+ x =− x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#18011Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√5x= 21 x. 2$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

√ -- { 2 [ 5x= 21x ⇔ 5x= 6,25x ⇔ x= 0 2 x≥ 0 x= 0,8

Больший корень это $x =0,8.$

Ответ: 0,8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#18012Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√------ 11− 5x= 1 − x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наибольший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#18014Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√----- 2x− 3= x − 3.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наименьший из них.

Показать ответ и решение

√----- { 2 2x− 3 =x − 3 ⇔ 2x− 3 =(x− 3) x − 3([≥0 { 2 |{ x = 2 x − 8x +12 =0 ⇔ x = 6 ⇔ x= 6. x ≥ 3 |(x ≥ 3

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#18015Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√------ 15− 2x= x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#21190Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение

√5-+-2x = 5 − x

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#21203Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение

√7-+-3x = 4 − x

В ответ запишите сумму корней, округленную до целых в большую сторону.

Показать ответ и решение

( √ -- √------ {7 + 3x = (4− x)2 {x2 − 11x+ 9 = 0 { 11±---85 7 + 3x = 4− x ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 (x ≤ 4.

Оценим полученные корни:

√ -- √-- 11− 85 11 − 81 11− 9 ---2----< ----2--- = --2---= 1 ≤ 4.

√-- √ -- 11-+--85 > 11+---81= 11-+-9= 10 > 4. 2 2 2

Получим, что первый корень подходит, а второй — нет. При этом первый корень располагается между числами $0$ и $1$ и после округления в большую сторону дает $1$ .

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#21204Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение

---------- ∘ 6 − 4x− x2 = x + 4

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#23573Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√--2------- 2x + 4x− 5= x.$

Если оно имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

({ 2 2 ∘2x2-+-4x−-5= x ⇔ 2x + 4x− 5= x ( x≥ 0 ( ⌊ ({ |||{ ⌈x= 1 (x − 1)(x+ 5)= 0 ⇔ x= −5 ⇔ x= 1 ( x≥ 0 |||( x≥ 0

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#37781Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√----- √ ----- √----- 1− 2x− 13+ x= x + 4.$

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

√----- √----- √ ----- 1 − 2x = 13+ x+ x+ 4

Оба части равенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

(| 1− 2x = 13+ x+ x+ 4+ 2∘ (13-+x)(x+-4) { 13 +x ≥ 0 |( x+ 4≥ 0 (| −8 − 2x = ∘(13+-x)(x-+4) { 13+ x≥ 0 |( x+ 4≥ 0 (|(8+ 2x)2 = (13 +x)(x+ 4) ||{13 +x ≥ 0 |x + 4≥ 0 ||( − 8− 2x≥ 0 (|(8+ 2x)2 = (13 +x)(x+ 4) ||{x ≥ −13 |x ≥ −4 ||( x ≤ −4

Таким образом, если у уравнения и есть решение, то это $x = −4.$ Проверим:

(8+ 2⋅(− 4))2 = 0 ⇔ 0 = 0

Следовательно, ответ $x= − 4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#37783Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $3√x-− 2-= 2.$

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x − 2= 23 ⇔ x= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#37784Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $3√x3−-2 =x − 2.$

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x3− 2= (x− 2)3 x3− 2= x3− 6x2+ 12x− 8 2 x − 2x+ 1= 0 ⇔ x = 1

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#41102Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $∘------ 2x+-5= 5. 3$

Показать ответ и решение

Уравнение в общем виде выглядит как $√A-= B$ и оно равносильно

( { A = B2 ( B ≥ 0

Так как правая часть исходного уравнения положительна, то оно равносильно

2x+-5 =25 ⇔ x = 35 3

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#58772Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√------ 4x+ 32= 8.$

Показать ответ и решение

Уравнение в общем виде выглядит как $√-- A = B$ и оно равносильно

(| A = B2 { |( A ≥ 0 B ≥ 0

Условие $A ≥ 0$ излишне, так как $A = B2,$ а $B2 ≥ 0$ как любое выражение в квадрате. Следовательно, исходное уравнение равносильно

4x+ 32= 64 ⇔ x =8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#80082Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√x-−-2 = 4 − x.$ В ответ запишите сумму всех корней уравнения.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ уравнения:

x − 2 ≥ 0,

x ≥ 2.

В левой части записан радикал, от него следует избавиться, возведя обе части уравнения в квадрат. В квадрат части уравнения имеем право возводить только тогда, когда обе части уравнения имеют один знак. Левая часть на ОДЗ всегда неотрицательна, такой же должна быть и правая часть, то есть в квадрат можно возводить только при условии $4 − x ≥ 0 :$