Тема 6. Решение уравнений

6.02 Линейные и квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1429Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $(2x +3)2 = 4x2+ 9.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 2 (2x+ 3) = 4x + 9 ⇔ 4x + 12x + 9= 4x + 9 ⇔ 12x= 0 ⇔ x =0

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2149Максимум баллов за задание: 1

Найдите отрицательный корень уравнения $(3 − x)(3x+ 4)= 4.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки:

2 2 9x+ 12 − 3x − 4x = 4 ⇔ 3x − 5x − 8 = 0

1 способ.
Дискриминант $D = 25+ 4 ⋅3⋅8 = 121 = 112$ , следовательно, корни:

x = 5-+-11= 8 и x = 5-− 11-= − 1. 1 2 ⋅3 3 2 2 ⋅3

Следовательно, отрицательный корень – это $x = − 1$ .

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: $3+ (− 8) = − 5$ , равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: $− 5$ , следовательно, один из корней $x1 = − 1$ . Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $8 − 3$ ) равен $8 x2 = 3$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2150Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2+ 33x − 34 = 0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Показать ответ и решение

1 способ.

Данное уравнение является квадратным.

Дискриминант $D = 1089+ 4⋅34= 1225.$ Найдем, чей это квадрат. Это число делится на 25, следовательно, корень из него делится на 5. Так как $302 = 900,$ а $402 = 1600,$ проверкой убеждаемся, что $352 =1225.$ Следовательно, корни

−-33-+-35- −33-− 35- x1 = 2 = 1 и x2 = 2 = −34

Следовательно, наибольший по модулю корень – это $x = −34.$

2 способ.

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: $1 +33 − 34 =0,$ следовательно, один из корней $x1 = 1.$ Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $− 34$ ) равен $x2 = −34.$

Ответ: -34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#854Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший корень уравнения $x2− x − 40200= 0.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.

Дискриминант $D = 1 +4 ⋅40200= 160801.$ Найдем, квадрат какого числа равен $160 801.$ Заметим, что $4002 = 160000,$ следовательно, $√------ 160801$ чуть больше, чем $400.$

Подбором убеждаемся, что $4012 = 160801.$ Следовательно, корни:

1-+401 1−-401- x1 = 2 = 201 и x2 = 2 = −200

Следовательно, больший корень – это $x = 201.$

2 способ.

Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно $− 40200,$ то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например $a$ и $− b$ (где $a,b> 0$ ).

Заметим, что их сумма равна $1$ , следовательно, $a − b =1.$ Попробуем найти $a$ и $b$ .

Заметим, что $40200= 402⋅100= 201⋅2⋅100.$ Таким образом, если взять числа 201 и 200, то их разность равна 1. Минус следует отнести к 200, то есть $x1 = 201$ и $x2 = −200.$

Ответ: 201

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#17118Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

(7 − 4x)2 = (2x+ 5)2

Показать ответ и решение

⌊ [7− 4x = 2x + 5 [6x = 2 1 (7− 4x)2 = (2x+ 5)2 ⇔ ⇔ ⇔ ⌈x = 3 7− 4x = − (2x+ 5) 2x = 12 x = 6

Выбираем наибольший корень $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#36023Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $3 1 11 4x − 12 =-3.$

Показать ответ и решение

3 1- 11 3-⋅3 -1 11⋅4- -9 -1 44 4x− 12 = 3 ⇔ 4 ⋅3x−12 = 3⋅4 ⇔ 12x− 12 = 12 ⇔ 9x− 1 = 44 ⇔ 9x = 45 ⇔ x = 5.

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#36024Максимум баллов за задание: 1

Чему равен корень уравнения $3x 1 -2-− 5x = 2,6?$

Показать ответ и решение

3x- 1 2 − 5x = 2,6 | ⋅10 ⇔ 15x − 2x = 26 ⇔ 13x = 26 ⇔ x = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#36027Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $1,8x− (x− 4,3) = (0,2x+ 0,5)− 1,6.$

Показать ответ и решение

1,8x− (x− 4,3) = (0,2x+ 0,5)− 1,6 ⇔ 1,8x − x+4,3 = 0,2x+0,5− 1,6 ⇔

−-5,4- ⇔ 0,8x+4,3 = 0,2x− 1,1 ⇔ 0,6x = − 5,4 ⇔ x = 0,6 ⇔ x = − 9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#36028Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $20(x − 1)− 20 =70x.$

Показать ответ и решение

20(x− 1)− 20 = 70x

Раскроем скобки:

20x− 20− 20= 70x

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а все остальные — в правую:

20x− 70x= 20+ 20 −50x= 40 |:(−50) x= − 40 50 x= −0,8

Ответ: -0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#36030Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $5x +3 2x− 1 5x + 3 --3---+ --2---= 3+ ---2--.$

Показать ответ и решение

5x+-3- 2x-− 1 5x+-3- (5x+-3)⋅2- (2x-− 1)-⋅3 3-⋅6 -(5x-+-3)⋅3 3 + 2 = 3+ 2 ⇔ 3⋅2 + 2 ⋅3 = 6 + 2 ⋅3 | ⋅6 ⇔

⇔ 10x+6+6x − 3 = 18+15x+9 ⇔ 16x+3 = 27+15x ⇔ x = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#36031Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $( ) 3x 5− 4x 4,5 − -4-+ --6--- = 6.$

Показать ответ и решение

( ) ( ) 3x- 5-−-4x 3x-⋅3 -(5-−-4x)⋅2 9x+-(10−-8x)- 4,5− 4 + 6 = 6 ⇔ 4,5− 4⋅3 + 6 ⋅2 = 6 ⇔ 4,5− 12 = 6 ⇔

x + 10 ⇔ − ------= 1,5 ⇔ − x − 10 = 18 ⇔ x = − 28. 12

Ответ: -28

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#36104Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $3x2 − 18x +27 = 0$ .

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#36105Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $1x2− 5x + 1= 0. 3 6 2$

Если уравнение имеет два корня, в ответе укажите их разность.

Показать ответ и решение

$pict$

Корней несколько, их разность равна $1,5− 1= 0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#36106Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $5x2 − 7x − 6 = 0.$

Если уравнение имеет два корня, в ответе укажите модуль их разности.

Показать ответ и решение

$pict$

Корней несколько, тогда модуль их разности равен $|2− (−0,6)|=2,6.$

Ответ: 2,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#36181Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $3x2− 10x +3 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 102 − 4 ⋅3⋅3= 64> 0,$ значит, уравнение имеет 2 корня. Тогда можно применить теорему Виета: $( { 10 (x1+ x2 = 3 x1x2 = 1.$

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Их произведение равно 1, значит, это взаимно обратные числа с суммой $10 = 31. 3 3$ Нетрудно догадаться, что это числа $3$ и $1 3.$ Больший из корней равен 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#36182Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение: $2x2− 7x+ 5= 0.$ В ответе укажите больший из корней.

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 72− 4⋅2⋅5= 9> 0,$ значит, уравнение имеет $2$ корня. Тогда можно применить теорему Виета: ${ x1+ x2 = 3,5 x1x2 = 2,5.$

Нетрудно заметить, что $x= 1$ является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю: $2− 7+ 5= 0.$ Тогда, используя второе равенство в теореме Виета, можно заключить, что вторым корнем уравнения является $x = 2,5.$ Больший из корней равен $2,5.$

Ответ: 2,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#36183Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение: $x2+ 999x− 1000= 0.$ В ответе укажите больший из корней.

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 9992 +4000> 0,$ значит, уравнение имеет $2$ корня. Тогда можно применить теорему Виета: ${ x1+ x2 = −999 x1x2 = −1000.$

Поскольку произведение корней отрицательно, корни уравнения разных знаков, при этом их сумма отрицательна, значит, модуль отрицательного числа на 999 больше, чем у положительного. Нетрудно понять, что корнями уравнения в таком случае будут числа $x1 = 1$ и $x2 = −1000.$ Больший корень равен $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#36192Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение: $10x2− 43x+ 33= 0.$

Если корней несколько, напишите их через точку с запятой в порядке возрастания. Например, если корнями являются числа 4 и -5,3, то ответ должен выглядеть так: -5,3;4

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 432 − 4 ⋅33 ⋅10= 1849 − 1320> 0,$ значит, уравнение имеет $2$ корня. Тогда можно применить теорему Виета: $( |{ 43 x1 +x2 = 10 |(x1x2 = 33. 10$

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Заметим, что 1 и 3,3 являются корнями данной системы. Получаем ответ: 1;3,3

Ответ: 1;3,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#36193Максимум баллов за задание: 1

Дано уравнение $x2− 9x + 4= 0.$ Не вычисляя корней $x1$ и $x2$ этого уравнения, найдите значение выражения $-x1x2+-1- x1+ x2+ 1.$

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 92− 4⋅4= 81− 16> 0,$ значит, уравнение имеет 2 корня. Тогда можно применить теорему Виета: ${ x1+ x2 = 9 x1x2 = 4.$

Сами корни в условии не требуется находить, поэтому перейдем к поиску значения выражения $-x1x2+-1- 4-+-1 x1+ x2+ 1= 9 + 1= 0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#36194Максимум баллов за задание: 1

Дано уравнение $x2+ 5x − 7= 0.$ Не вычисляя корней $x1$ и $x2$ этого уравнения, найдите значение выражения $x21+ x22.$

Показать ответ и решение

$D = b2− 4ac= 52+ 4⋅7= 25+ 28> 0,$ значит, уравнение имеет 2 корня. Тогда можно применить теорему Виета: ${ x1+ x2 = −5 x1x2 = −7.$

Сами корни в условии не требуется находить, поэтому перейдем к поиску значения выражения:

(x1+x2)2 = x2+ 2x1x2+ x2 1 2 x21+ x22 = (x1+ x2)2− 2x1x2 2 2 2 x1+ x2 = (−5) − 2⋅(− 7) x21+ x22 = 39.

Ответ: 39