Тема Треугольники с фиксированными углами

Треугольник с углом в 45 градусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники с фиксированными углами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67112

$AA 1$ и $CC 1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC,$ в котором $∠ABC = 45∘.$ Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC.$ Докажите, что прямая $A1C1$ проходит через середину отрезка $OH.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Угол в 45 градусов…Где же он встречается…Ого, а что насчет треугольников BA1A и BC1C? Что про них можно сказать? А что это дает?

Подсказка 2

Верно, они прямоугольные и равнобедренные, но тогда высоты в этих треугольниках - это серединные перпендикуляры. А значит пресечения высот в этих треугольниках - центр описанной окружности треугольника ABC. Нам нужно доказать, что в четырехугольнике C1OA1H точкой пересечения диагоналей, диагональ OH делится пополам. А где еще мы что-то очень похожее слышали? Что можно сказать про этот четырехугольник?

Подсказка 3

Поскольку данный четырехугольник образован серединными перпендикулярами и высотами в одном треугольнике, то данный четырехугольник является параллелограммом. А что мы знаем насчет диагоналей параллелограмма?

Показать доказательство

$PIC$

По условию $∠ABC = 45∘,$ а значит, $ΔBCC1$ и $ΔBAA1$ — равнобедренные. Отсюда $A1$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB,$ а $C1$ — на серединном перпендикуляре к $BC.$ Также на обоих перпендикулярах находится точка $O.$ Но тогда $A1O ⊥ AB,$ откуда $A1O ∥C1H.$ Аналогично $C1O∥ A1H,$ откуда $HA1OC1$ — параллелограмм, а значит $OH$ делится $A1C1$ пополам.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70481

В остроугольном треугольнике $ABC$ с углом $45∘$ при вершине $A$ проведены высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ Луч $EF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X.$ Оказалось, что $AX||DE.$ Найдите углы треугольника $ABC.$

Источники: Источник: СпбОШ - 2022, задача 11.2 (см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны параллельность и вписанность - это сразу же намекает нам на углы! Попробуем поотмечать, а потом воспользуемся условием на угол A) Что узнаем?

Подсказка 2

Понимаем, что AF = FC! Теперь мы можем посчитать достаточно большое количество углов на картинке...но все из них равны либо 90, либо 90/2. На что это может намекать? Обратим внимание на точку F.

Подсказка 3

Угол AFC в 2 раза больше чем AXC. Чем тогда является F для треугольника AXC? Когда мы это поймем, мы сможем по аналогии связать углы AFX=EFB и ACB. Не забываем про вписанность!)

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия следует, что $AF =F C$ . Из вписанностей $∠CDE = 45∘$ , и теперь из параллельности $∠AXD = 45∘$ . В треугольнике $AXC$ точка $F$ оказалась центром описанной окружности (равноудалена от вершин $A$ и $C$ и центральный угол в два раза больше вписанного). Поэтому $2∠ACB = ∠AF X = ∠BF E$ , что вместе со вписанностью $BF EC$ дает $∠ACB = 60∘$