Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Тема Математический анализ

25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#94451

Докажите, что точка $x$ - предельная для множества $A$ тогда и только тогда, когда в любой проколотой окрестности точки $x$ есть бесконечно много точек множества $A$ .

Показать доказательство

Ясно, что если в любой проколотой окрестности точки $x$ содержится бесконечно много точек $A$ , то содержится и хотя бы одна. Так что в одну сторону - очевидно.

Докажем в обратную сторону.

Итак, пусть в любой проколотой окрестности точки $x$ есть хотя бы один $a ∈ A$ .

Возьмем какую-нибудь проколотую окрестность точки $x$ , то есть какой-то интервал вокруг точки $x$ , из которого мы выкинули сам $x$ :

(x − 𝜀,x+ 𝜀) ∖{x}

По условию в этом множестве есть хотя бы один элемент множества $A$ . То есть

∃a1 ∈ A такой, чт о a1 ∈ (x− 𝜀,x + 𝜀)∖ {x}

Далее, пусть $δ1 = |x− a1|$ - расстояние от $x$ до $a1$ .

Тогда теперь рассмотрим новую проколотую окрестность точки $x$ , причем сразу заметим, что она содержится в старой проколотой окрестности:

δ δ (x− -1,x+ -1)∖ {x} 2 2

В этой окрестности тоже должен быть элемент множества $A$ (т.к. $x$ - предельная для $A$ ). Обзовем этот новый элемент $a2$ .

Заметим, что $a2 ⁄= a1$ , поскольку мы выбрали новую, более узкую проколотую окрестность $x$ специально так, чтобы она уже заведомо не содержала $a1$ .

Далее, пусть $δ2 = |x − a2|$ - расстояние от $x$ до $a2$ .

Тогда теперь рассмотрим новую проколотую окрестность точки $x$ , причем сразу заметим, что она содержится в предыдущей проколотой окрестности:

δ2 δ2 (x− --,x+ --)∖ {x} 2 2

В этой окрестности тоже должен быть элемент множества $A$ (т.к. $x$ - предельная для $A$ ). Обзовем этот новый элемент $a3$ .

Заметим, что $a3 ⁄= a2,a3 ⁄= a1$ , поскольку мы выбрали новую, более узкую проколотую окрестность $x$ специально так, чтобы она уже заведомо не содержала $a 2$ и уж тем более $a 1$ .

И так далее...

Каждый раз мы будем выбирать новую, более узкую проколотую окрестность точки $x$ , не содержащую всех предыдущих элементов из $A$ , но по определению предельной точки обязанную содержать какой-то новый элемент из $A$ .

Таким образом, получим бесконечно много элементов из $A$ , каждый из которых лежит в более узкой окрестности. Но, поскольку все эти окрестности лежат в первоначальной окрестности $(x− 𝜀,x + 𝜀)$ , то и все найденные нами элементы из $A$ в ней содержатся. Вот мы и смогли найти бесконечно много элементов из $A$ в нашей первоначальной произвольной проколотой окрестности точки $x$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#94452

Найдите все предельные точки следующих множеств:

a) $(5,+ ∞ )$ ;
b) $ℕ$ ;
c) $ℚ$ ;
d) $X$ , где $X$ - любое конечное подмножество $ℝ$ ;
e) $√-- 1 { n + k | n ∈ ℕ, k ∈ ℕ}$

Показать ответ и решение

a) Ясно, что любая точка, лежащая внутри луча $(5,+∞ )$ будет предельной, поскольку любая проколотая окрестнсть такой точки будет непусто пересекаться с этим лучом.

Ясно так же, что и точка $5$ - тоже будет предельной, поскольку любая её проколотая окрестность тоже непусто пересекается с нашим лучом. Других предельных точек нет, потому что любая точка, лежащая вне $[5,+∞ )$ имеет окрестность, пусто пересекающуюся с лучом $(5,+∞ )$ . А именно, надо лишь взять окрестность радиуса меньше, чем расстояние от этой точки до 5.

b) У $ℕ$ нет предельных точек. Потому что $∀x ∈ ℝ$ существует проколотая окрестность, пусто пересекающаяся с $ℕ$ . А именно, надо всего лишь взять окрестность радиуса $r 2$ , где $r$ - это расстояние от $x$ до ближайшего к нему натурального числа (не считая самого $x$ , если вдруг $x$ оказалось само натуральным).

c) Каждое вещественное число будет предельной точкой для множества $ℚ$ . А именно, какое бы $x ∈ ℝ$ ни взять, и какую бы проколотую окрестность

(α, β)∖ {x}

у него ни рассмотреть, в любом таком интервале найдется обязательно рациональное число. Следовательно, у любой точки в любой её проколотой окрестности есть элемент из $ℚ$ - следовательно, любая точка $x ∈ ℝ$ - предельная для множества $ℚ$ .

d) У конечного множества не может быть ни одной предельной точки. А именно, если бы $z ∈ ℝ$ была бы предельной для какого-то конечного множества $X$ , то что же тогда? Но мы же знаем, что в любой проколотой окрестности $z$ обязано было бы найтись бесконечно много точек из $X$ . Чего не может быть, потому что в $X$ в принципе конечное число элементов.

e) Утверждается, что любое число вида $√ -- n,n ∈ ℕ$ будет предельной точкой этого множества.

Действительно, пусть $x = √n-$ и пусть

(α,β)∖ {√n-}

- любая проколотая окрестность этой точки

Но тогда, если $√-- δ = β − n > 0$ , то обязательно найдется такое $k ∈ ℕ$ , что $1 k < δ$ , и, значит,

√ -- 1- n + k ∈ (α,β )

То есть в любой проколотой окрестности любой точки вида $√n--$ обязательно найдется элемент нашего множества.

Более-менее ясно, что любое число $x ∈ ℝ$ , не являющееся корнем из какого-то натурального числа, предельной точкой нашего множества не будет, потому что можно будет найти его проколотую окрестность, пусто пересекающуюся с нашим множеством.

Ответ:

a) $[5,+∞ )$ ;
b) Их нет;
c) $ℝ$ ;
d) Их нет;
e) $√ -- { n | n ∈ ℕ}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#97100

1. Доказать, что если у последовательности $a n$ есть два различных частичных предела, то есть множество

Ч.П. (an )

состоит хотя бы из двух чисел, то $an$ обязательно расходится.

2. Вывести отсюда, что если у ограниченной последовательности $an$

--- lim an ⁄= lim an n→ ∞ n→∞

то тогда неизбежно $a n$ расходится.

Показать ответ и решение

1. Пусть

Ч.П.(an) = {α,β,...}

То есть у $an$ есть хотя бы два различных частичных предела $α$ и $β$ .

Это означает, что у $an$ есть две различные подпоследовательности $ank$ и $ˆank$ такие, что

ank → α, ˆank → β, k → ∞

(действительно, это должны быть различные подпоследовательности, потому что одна и та же подпоследовательность не может одновременно сходиться к двум разным пределам - почему?)

Пусть $|α−β|- d = 10$ . Тогда по определению предела начиная с какого-то $K1$ все члены подпоследовательности $ank$ попадут в $d−$ окрестность числа $α$ . И точно так же с какого-то $K2$ все члены подпоследовательности $ˆank$ попадут в $d−$ окрестность числа $β$ .

Таким образом, при $k > max {K1, K2}$ произойдет и то, и другое.

То есть начиная с некоторого момента бесконечно много членов последовательности $an$ (а именно, $ank$ при $k > max {K1, K2}$ ) попадут в окрестность $α$ , и с этого же момента другие бесконечно много членов последовательности $an$ (а именно, $ˆank$ при $k > max {K1,K2 }$ ) попадут в другую, не пересекающуюся с первой, окрестность $β$ .

Но если бы последовательность $a n$ сходилась, то все её члены, начиная с некоторого номера $N$ , попадали бы в любую, сколь угодно малую окрестность её предела. И уж точно не могли бы они находиться в непересекающихся окрестностях $α$ и $β$ , ведь они должны все, с какого-то момента, попасть в одну и ту же сколь угодно малую окрестность предела самой $an$ . А мы видим, что у $an$ бесконечно много членов находятся в непересекающихся окрестностях (и в той и в другой окрестности- бесконечно много).

Значит, они все не могут ни с какого момента оказаться в какой-то одной окрестности. Значит, не может быть такого, чтобы при $n > N$ все члены самой $a n$ попали в какую-то одну окрестность какого бы то ни было числа.

Таким образом, $an$ сходиться не может.

2. Пусть

--- lim an ⁄= lim an n→ ∞ n→∞

Но как мы уже знаем, верхний предел является частичным пределом, то есть

--- nli→m∞ an = s ∈ Ч.П. (an)

(мы доказывали такую теорему)

Аналогично, как мы уже знаем, нижний предел является частичным пределом, то есть

lim a = l ∈ Ч.П. (a ) n→-∞ n n

Таким образом, если $s ⁄= l$ , то мы попадаем как раз в ситуацию, когда у $an$ есть хотя бы два различных частичных предела. А как мы уже доказали в пункте 1., это влечёт расходимость $an$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#97101

Доказать, что у сходящейся последовательности не может быть расходящейся подпоследовательности.

Показать ответ и решение

Пусть $a n$ сходится. Будем доказывать от противного. Предположим, у неё все таки нашлась такая подпоследовательность $an k$ , которая расходится.

1 случай. $ank$ - неограничена. Но тогда и сама $an$ , очевидно, неограничена. Но тогда сразу противоречие с тем, что $an$ сходится. Неограниченная последовательность сходиться не может.

2 случай. $ank$ - ограничена. Тогда у нее заведомо существуют верхний и нижний пределы. Пусть

--- ˜l = lim- ank,˜s = lim ank k→ ∞ k→ ∞

Коль скоро $an k$ расходится по предположению, то обязательно

˜l ⁄= ˜s

(в противном случае, если бы верхний предел совпадал с нижним, $ank$ сошлась бы - такую теорему мы уже доказывали)

Однако, примем во внимание очевидное соотношение

--- --- lim- an ≤ lim- ank ≤ lim ank ≤ nli→m∞ an n→ ∞ k→ ∞ k→∞

Если же

˜l = lim a ⁄= lim- a = ˜s k→-∞ nk k→∞ nk

То тем более не могут быть равны и крайние члены:

lim- a ⁄= lim a n→ ∞ n n→∞ n

А из этого следует, что и сама последовательность $an$ - расходится. Вновь получаем противоречие.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#97102

Можно ли утверждать, что если множество

Ч.П. (an )

состоит ровно из одного числа, то есть

Ч.П. (a ) = {α } n

то $an$ обязательно сходится (разумеется, к $α$ )?

Показать ответ и решение

Этого утверждать нельзя.

Рассмотрим, например, последовательность

{0 если n -чётно an = n если n -нечётно

Утверждается, что $Ч.П. (an ) = {0}$ .

В самом деле, подпоследовательность $a2n → 0$ , поэтому $0 ∈ Ч.П.(an)$ . Но других частичных пределов у $an$ нет.

Действительно, любая другая подпоследовательность $a nk$ последовательности $a n$ либо:
1. Содержит бесконечно много членов с четными номерами исходной последовательности и лишь конечное число членов с нечетными номерами исходной последовательности. Тогда такая $an → 0 k$ ;
2. Содержит бесконечно много членов с нечетными номерами исходной последовательности. Тогда $ank$ расходится, поскольку в таком случае она будет даже неограничена.

Следовательно, никаких других частичных пределов у $an$ нет.

В то же время $an$ не сходится, например потому, что $an$ даже неограничена.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#97103

Привести пример последовательности, из которой нельзя выделить ни одной сходящейся подпоследовательности. То есть такой $an$ , что

Ч.П.(a ) = ∅ n

Показать ответ и решение

Например, годится $a = n n$ . Она неограничена. Более того, легко видеть, что и любая её подпоследовательность $a nk$ - тоже неограничена. Значит, и любая ее подпоследовательность не сходится. Ну а значит

Ч.П.(an) = ∅

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#97104

Пусть $a n$ - последовательность. Обозначим через $A$ множество ${a } n$ значений этой последовательности, то есть множество

A = {a ,a ,a ,...} 1 2 3

(то есть мы тупо в множество $A$ засунули все члены нашей последовательности.)

Заметим, что множество $A$ несёт в себе гораздо меньше информации, чем сама последовательность $an$ , потому что когда мы все её элементы засунули в множество, мы склеили совпадающие элементы и, более того, забыли про то, в каком порядке шли элементы в последовательности. Так как в множестве одинаковые элементы склеиваются и не учитывается порядок элементов.

Задача.
a) Доказать, что если $α$ - предельная точка множества $A$ , то $α ∈ Ч.П. (an)$ , то есть $α$ обязательно является частичным пределом последовательности $an$ ;

b) Привести пример, показывающий, что обратное - неверно. То есть привести пример такой последовательности $an$ , что $α ∈ Ч.П. (an)$ , но $α$ - не предельная точка $A$ ;

c) Привести пример такой последовательности $an$ , что любая $α$ такая, что $α ∈ Ч. П. (an )$ не является предельной точкой множества $A$ ;

d) Пусть $∃nli→m∞ an = λ$ . Обязана ли $λ$ быть предельной точкой множества $A$ ?

Показать ответ и решение

a) Пусть $α$ - предельная для $A$ . По определению это означает, что в любой проколотой окрестности точки $α$ есть бесконечно много элементов множества $A$
(на самом деле, в определении сказано - есть хотя бы один элемент множества $A$ , но, как мы уже доказывали, это эквивалентно тому, что и бесконечно много элементов множества $A$ тоже найдется в любой окрестности $α$ ).

Итак, возьмем проколотую окрестность радиуса $1$ точки $α$ . В эту окрестность попадёт хотя бы один элемент множества $A$ , то есть хотя бы один член последовательности $an$ . Назовём его $an1$ . То есть

an1 ∈ (α − 1,α + 1)∖ {α}

Далее, поскольку $an1 ⁄= α$ , то число $d = |an1 − α |$ (расстояние от $an1$ до $α$ ) будет положительно. Итак, $d > 0$ .

Тогда, опять же таки, возьмём окрестность точки $α$ радиуса $d2$ . Поскольку $α$ - предельная точка множества $A$ , то в этой окрестности найдется бесконечно много элементов множества $A$ . Причем среди них уже не будет $an1$ , поскольку все они ближе к $α$ , чем $an1$ .
Раз их бесконечно много, мы сможем выбрать элемент с номером бОльшим, чем $n1$ . То есть найдется $an2$ , лежащий в этой более узкой $d2$ -окрестности $α$ , причем $n2 > n1$ .

Будем так продолжать и далее, беря всякий раз $ank$ из окрестности радиуса в два раза меньше, чем расстояние от предыдущего, $ank−1$ до $α$ .

Получим подпоследовательность

a ,a ,...,a ,... n1 n2 nk

(номера у них действительно возрастают - по построению).

К тому же, ясно, что

ank → α, при k → ∞

Ибо расстояние от $ank$ до $α$ уж как минимум в два раза меньше, чем расстояние от $ank−1$ до $α$ . Следовательно, расстояния от $ank$ до $α$ стремятся к 0. А это в точности и означает то, что

a → α, при k → ∞ nk

Таким образом, мы построили подпоследовательность исходной последовательности, стремящуюся к $α$ . А это по определению значит, что

α ∈ Ч.П. (an)

b) Пусть

{ a = 0 если n- чётно n 5− 1n если n- нечётно

Ясно, что $0 ∈ Ч.П.(an)$ , поскольку подпоследовательность $a2n → 0$ . Однако $0$ не является предельной точкой множества $A$ , поскольку $A$ устроено следующим образом:

{ } A = 0,4,5− 1,5− 1,5− 1,5− 1,...,5− ---1-- ,... 3 5 7 9 2n − 1

Конечно же, 0 - не предельная точка множества $A$ , ведь не в любой проколотой окрестности нуля будет бесконечно много элементов из $A$ . Например, если взять проколотую окрестность нуля радиуса $1$ , то есть окрестность

(− 1,1)∖ {0}

То в неё не попадает вообще ни один элемент множества $A$ . То есть 0 - не предельная для $A$ , хотя и является частичным пределом $an$ .

c) Годится последовательность $a = (− 1)n n$ . Её множество значений $A$ состоит всего из двух чисел:

A = {− 1,1}

А потому $A$ вообще не имеет предельных точек (у конечного множества предельных точек нет).

Однако

Ч.П. (an ) = {− 1,1}

Таким образом, ни один частичный предел $an$ не является предельной точкой множества $A$ .

d) Вовсе не обязана. Пусть

a ≡ λ ∀n ∈ ℕ n

То есть $an$ - постоянная последовательность, все время равная $λ$ . Тогда

A = {λ}

и у $A$ вновь нет предельных точек (как у любого конечного множества).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#97105

Найти все частичные пределы, а также верхний и нижний предел у $x n$ :

n− 1 2πn xn = -----cos ---- n+ 1 3

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#97106

Найти

--- nli→m∞ xn, nli→m∞-xn

для последовательности $xn$ , устроенной следующим образом:

1, 1,1 + 1, 1,1+ 1, 1-+ 1, 1,1+ 1, 1-+ 1, 1-+ 1-, 1,... 2 2 3 3 2 3 4 4 2 4 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...-,1 + --,-+ -,--+ --,...,-----+ -,-----,... n n 2 n 3 n n− 1 n n + 1

Показать ответ и решение

Ясно, что $1 ∈ Ч. П. (x ) n$ .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к 1, можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

1- 1- 1- 1- 1,1 + 2,1 + 3,1 + 4,...,1+ n,...

Ясно, что $1 2 ∈ Ч.П. (xn)$ .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к $1 2$ , можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

1 1 1 1 1 1 1 2-,2-+ 3,2-+ 4-,...,2-+ n-,...

Ясно, что $13 ∈ Ч.П. (xn)$ .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к $1 3$ , можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

1 1 1 1 1 1 1 --,--+ -,--+ --,...,--+ --,... 3 3 4 3 5 3 n

И так далее... Вообще, любое число вида $1n$ будет частичным пределом $xn$ по тем же причинам.

Более того, еще и число 0 будет частичным пределом $xn$ , поскольку у $xn$ есть подпоследовательность

1- 1-1- 1- 1- 2 ,3,4, 5,..., n,...

Нетрудно показать, что других частичных пределов у $xn$ нет.

Впрочем, поскольку нам надо было найти верхний и нижний пределы $x n$ , нам достаточно заметить, что так или иначе, но частичного предела, большего 1, у $xn$ нет уж совсем по очевидным причинам - не найдется такой подпоследовательности $xn$ , которая стремилась бы к чему-то $> 1$ .

А то что нет частичного предела, меньшего 0, еще более очевидно - все члены последовательности $xn$ положительны.

Следовательно,

lim- x = 1, lim x = 0 n→ ∞ n n→∞- n

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#97107

Построить последовательность, которая имеет в качестве своего частичного предела любое вещественное число. То есть такую $an$ , что

Ч.П.(a ) = ℝ n

Показать ответ и решение

Мы уже знаем, что множество $ℚ$ - счётно. То есть существует биекция

a : ℕ → ℚ

Эта биекция является фактически последовательностью $an$ , которая по натуральному числу $n ∈ ℕ$ возвращает $n−$ е рациональное число $qn$ .

Утверждается, что

Ч.П.(a ) = ℝ n

Действительно, пусть $α$ - произвольное вещественное число.

Как мы уже знаем, в любой проколотой окрестности $α$ найдется хотя бы одна рациональная точка, то есть по сути хотя бы один элемент нашей последовательности $an$ .

Следовательно, точка $α$ является предельной точкой для множества $A = {an }$ . А из этого следует, что $α ∈ Ч.П.(an)$ . Но $α$ было произвольным вещественным число, следовательно, любое вещественное число является частичным пределом $an$ . Что и требовалось.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#138226

Найти $min [− 3,2]$ , $max[0,1]$ , $max(0,+ ∞ )$ , $min(0,+ ∞ )$ .

Показать ответ и решение

Ясно, что $min[− 3,2] = − 3$ и $max [0,1] = 1$ .

Ясно также, что $max (0,+∞ )$ - не существует, поскольку оно просто-напросто не ограничено сверху.

Однако и $min (0,+∞ )$ не существует, несмотря на то, что снизу-то оно ограничено. Но $0 ⁄= min (0,+∞ )$ , поскольку $0/∈ (0,+∞ )$ . Никакое положительное число ясное дело на роль $min(0,+ ∞ )$ не годится, поскольку всегда найдется число в луче $(0,+ ∞ )$ , которое еще меньше этого положительного якобы минимума. Ну а никакое отрицательное число на роль $min(0,+∞ )$ не годится совсем уж по понятным причинам - отрицательные числа не лежат $(0,+ ∞ )$ , а минимум должен лежать.

Ответ:

$min[− 3,2] = − 3$ , $max [0,1] = 1$ , $max (0,+∞ )$ не существует, $min (0,+ ∞ )$ не существует.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#138230

Пусть $A = [0,1]$ - отрезок от 0 до 1. Найти $sup A,inf A$

Показать ответ и решение

$inf A = 0$ , $supA = 1$ .

Понятно, что и то и другое это соответственно нижняя и верхняя границы, причем они неулучшаемы, потому что если мы попытаемся сдвинуть нижнюю или верхнюю границу хотя бы на $𝜀$ вверх или вниз соответственно, то уже сама левая или правая граница отрезка будет выпадать за инфимум или супремум.

Ответ:

$inf A = 0$ , $supA = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#138231

Пусть $A = (0,1)$ - интервал от 0 до 1. Найти $sup A$ .

Показать ответ и решение

Утверждается, что $sup A = 1$ . Действительно, это заведомо верхняя граница, так что требование 1 из определения супремума очевидно выполнено. Более того, $∀𝜀 > 0$ найдется точка $x ∈ (0,1)$ такая, что $x > 1− 𝜀$ . Значит, и требование 2 из определения супремума выполнено. Следовательно, мы доказали, что $1 = sup(0,1)$ .

Ответ:

$sup A = 1$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#138232

Пусть $A = {a ∈ ℝ |a2 < 2}$ . Найти $sup A$ .

Показать ответ и решение

Утверждается, что $√ -- sup A = 2$ (Заметим, опять $supA/∈ A$ ).
Действительно, $√-- 2$ - это заведомо верхняя граница $A$ . Но она неулучшаема, потому что как только мы сдвинемся влево от $√ -- 2$ , то есть возьмём число $√ -- 2− 𝜀$ для какого-то $𝜀 > 0$ , то тут же мы найдём $a ∈ A$ такой, что $√ -- a > 2− 𝜀$ .
А именно, нужно будет взять просто например $a = √2-− 𝜀-- 100$ . Ясно, что $√ -- a > 2− 𝜀$ . И очевидно, что $a ∈ A$ .

Следовательно, верхнюю оценку $√ -- 2$ для $A$ нельзя улучшить. Значит, по определению мы доказали, что это $√2--= supA$ .

Ответ:

$√ -- sup A = 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#138233

Пусть $A = {1n |n ∈ ℕ}$ . Найти $inf A$

Показать ответ и решение

Утверждается, что $inf A = 0$ (Заметим, что $inf A/∈ A$ ).

Ясно, что 0 ограничивает наше множество $A$ снизу. Более того эту оценку нельзя улучшить, потому что $∀𝜀 > 0 ∃n ∈ ℕ$ такое, что $1 n < 𝜀$ .

Ответ:

$inf A = 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#138255

Найти $min A, max A,sup A,inf A$ , если

1 1 A = {--+ --- | n ∈ ℕ} 3 2n

Показать ответ и решение

Ясно, что самый наибольший элемент множества $A$ будет при самом наименьшем $n ∈ ℕ$ , поскольку мы к фиксированному числу $1 3$ прибавляем числа вида $-1 2n$ , а они становятся тем меньше, чем больше $n$ . Значит, самое большое слагаемое будет при самом маленьком $n = 1$ , то есть

max A = 1-+ 1= 5- 3 2 6

и самое главное, соблюдено определение наибольшего элемента, состоящее в том, что $56 ∈ A$ .

Но тогда и

sup A = 5- 6

поскольку $56$ - это верхняя грань множества $A$ , и она неулучшаема. Действительно, если только мы возьмем любое число, меньшее, чем $5 6$ , то оно уже не будет верхней гранью множества $A$ , потому что $56$ то лежит в $A$ .

В то же самое время, чем больше $n$ , тем меньше становится добавка $21n$ . По идее, она будет самая маленькая при самом большом $n$ , но...этого самого большого $n$ -то не существует.

Поэтому возникает гипотеза:

1- inf A = 3 , min A не су ществует

Проверим её.

Действительно, $13$ - это нижняя грань множества $A$ , поскольку для любого $a ∈ A$ выполнено

1 a ≥ -- 3

потому что

1- 1-- 1- 3 + 2n ≥ 3

Но $1 3$ - неулучшаема. Действительно, пусть мы взяли любое $𝜀 > 0$ . Утверждается, что тогда $1 3 + 𝜀$ уже не будет нижней гранью, потому что найдется какой-то элемент множества $A$ , который будет меньше, чем $1+ 𝜀 3$ .
Почему?

Потому что это равносильно тому, что найдется такое $n$ (при уже зафиксированом $𝜀$ ), что

1- 1-- 1- 3 + 2n < 3 + 𝜀

То есть

1 ---< 𝜀 2n

То есть $2n > 𝜀$ , то есть

𝜀- n > 2

Но конечно, если $𝜀 > 0$ - фиксировано, то такое натуральное $n$ всегда можно найти.

Тем самым, мы проверили определение инфимума и получили, что

1 inf A = -- 3

Почему же $min A$ - не существует?

Итак, число $1 3$ просто не годится на роль $min A$ , поскольку оно не лежит в $A$ .

Число, большее $1 3$ не годится на роль $minA$ , потому что, как мы уже проверили выше, оно уже просто-напросто даже не будет являться нижней гранью $A$ . Число же меньшее $1 3$ не годится на роль $min A$ вновь потому что оно не лежит в $A$ . Значит, $min A$ не существует.

Ответ:

$max A = 56,sup A = 56,inf A = 13,min A не существует$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#138256

Найти $min A, max A,sup A,inf A$ , если

3n2 + 5 A = {(− 1)n ⋅----2- | n ∈ ℕ } 2n

Показать ответ и решение

Преобразуем немного выражение

3n2 + 5 3 5 (− 1)n ⋅----2- = (− 1)n ⋅(-+ --2-) 2n 2 2n

Итак, при $n = 1$ мы получим элемент множества $3 5 − 1⋅(2 + 2) = − 4$ . Утверждается, что это наименьший элемент в нем, то есть

min A = − 4

Во-первых, конечно, $− 4 ∈ A$ , поэтому эта часть определения наименьшего элемента выполнена. Но почему нет элементов, меньших, чем $− 4$ в $A$ ?

Действительно, все остальные отрицательные элементы множества $A$ мы будем получать при остальных нечетных $n$ , больших $1$ . А, значит, добавка к дроби $32$ - а именно - дробь $25n2$ будет меньше, значит, мы получим менее отрицательное число, то есть при остальных нечетных $n$ выражение

3 5 (− 1)n ⋅(-+ --2) 2 2n

будет больше, чем $− 4$ .

Далее, мы утверждаем, что

17- max A = 8

А именно, при $n = 2$ мы получим элемент множества $(− 1)2 ⋅(3 + 5) = 17 2 8 8$ . Таким образом, во-первых, $17 -8 ∈ A$ . Но почему в $A$ нет элементов, больших, чем $17 8-$ ?

Действительно, все остальные положительные элементы множества $A$ мы будем получать при остальных четных $n$ , больших $1$ . А, значит, добавка к дроби $3 2$ - а именно - дробь $-52 2n$ будет меньше, значит, мы получим меньшие положительные числа, то есть при остальных четных $n$ выражение

3 5 (− 1)n ⋅(-+ --2) 2 2n

будет меньше, чем $17 -8$ .

Кроме того, ясно, что в данном случае

17- inf A = min A = − 4, supA = max A = 8

Потому что это соответственно нижняя и верхняя грань, и они неулучшаемы.

Нижняя грань $− 4$ неулучшаема по той простой причине, что любое число, большее $− 4$ уже просто-напросто не будет нижней гранью $A$ , потому что в $A$ то всё еще будет лежать элемент $− 4$ .

То же самое можно сказать и про верхнюю грань.

Ответ:

$inf A = min A = − 4, sup A = max A = 178$