Отбор СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел от 
до 
так, чтобы разность любых двух из них была
отлична от 
и 
Возьмём какое-либо выбранное число и пять следующих за ним. Тогда по условию не могут быть выбраны второе, пятое и шестое. При этом из третьего и четвёртого не могут быть выбраны оба сразу. Из этого заключения следует, что среди шести последовательных чисел может быть выбрано не больше двух.
Разобьём числа от 
до 
на шестёрки подряд идущих. По доказанному, в каждой шестёрке может быть выбрано не больше
двух чисел. Остаются числа 2023 и 2024, из которых может быть выбрано не больше одного, поскольку они отличаются на
1.
Теперь мы доказали, что больше 
чисел выбрано точно быть не может.
Выберем числа 
Их попарные разности кратны трём, поэтому, очевидно, не равняются 1, 4
или 5. При этом выбранных чисел ровно 675, то есть максимально возможное количество.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У Васи имеются:
различных тома из собрания сочинений А. С. Пушкина; высота каждого тома — 
см;
собрание сочинений Е. В. Тарле в 
-х томах; высота каждого тома — 
см;
книга лирических стихов высотой 
см, опубликованных самим Васей.
Вася хочет расположить эти книги на полке так, чтобы его творение было в центре, а книги, стоящие от него на одинаковом расстоянии слева и справа, имели равную высоту. Сколькими способами это можно сделать?
Источники:
Подсказка 1
Для начала отметим, что томы Пушкина и Тарле имеют разную высоту. Может ли тогда быть так, что два тома Пушкина стоят с одной стороны от тома Васи?
Подсказка 2
Нет, не может! Поскольку высота томов Пушкина и Тарле различна, для двух томов Пушкина, стоящих по одну сторону от тома Васи, не найдется книги, которая смогла бы дополнить их по условию симметричности. Пронумеруем позиции, на которые будут расставлены книги от 1 до 7. На 4 позиции всегда стоит том Васи. А на каких позициях могут стоять тома Пушкина?
Подсказка 3
Все верно! На 1 и 7, 2 и 6 или 3 и 5 позициях, и для каждого выбора этих двух позиций есть два способа расставить на них тома Пушкина. На остальных позициях располагаются тома Тарле. Сколько способов имеется для расстановки томов Тарле?
Из условия симметричности расстановки вытекают два вывода:
1) слева и справа от стихов Васи должны стоять один том Пушкина и два тома Тарле;
2) для томов Пушкина допустимы 3 пары позиций: 
Остальные свободные места должны занимать книги
Тарле.
Расставить тома Пушкина на выбранных для них позициях можно 
способами. После этого книги Тарле на оставшихся местах
независимо расставляются 
способами.
Таким образом, окончательное количество расстановок равно 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У Васи имеются 9 разных книг Аркадия и Бориса Стругацких, содержащих по одному произведению писателей каждая. Вася хочет расставить эти книги на полке так, чтобы рядом стояли:
a) романы “Жук в муравейнике” и “Волны гасят ветер” (неважно, в каком порядке);
б) повести “Беспокойство” и “Повесть о дружбе и недружбе” (неважно, в каком порядке).
Сколькими способами Вася может это сделать?
Источники:
Васе нужно расположить в ряд 
объектов: 
книг, не указанных в пунктах а) и б), и двух пар из а) и б). Это можно сделать 
способами. Кроме того, внутри каждой пары можно менять книги местами, что увеличивает общее число вариантов в 4 раза. В итоге
получаем 
способов.
