Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Отбор Физтеха

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98023

Про натуральные числа $n,m,k$ и $l$ известно, что $mn =kl= 350.$ Оказалось, что точки с координатами $(m,n)$ и $(k,l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.

Источники: Отбор Физтех 2023, Задача 4 (olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $⃗a$ и $⃗b$ — векторы с координатами $(m, n)$ и $(k,l)$ соответственно. Построим перпендикулярный к $⃗b$ вектор $⃗b′$ такой, что $⃗ ⃗′ |b|= |b |,$ его координаты будут $(−l,k).$

$PIC$

Можем выразить площадь треугольника через векторы $⃗a$ и $⃗ b:$

1 S = 2|⃗a||⃗b|sinα,

где $α$ — угол между $⃗a$ и $⃗b.$

Учитывая, что $sin α= cos(90∘− α)$ и $|⃗b|=|⃗b′|,$ получаем:

S = 1|⃗a||⃗b′|cos(90∘− α) 2

Но $(90∘ − α)$ равно уголу между $⃗a$ и $⃗b′,$ тогда $|⃗a||⃗b′|cos(90∘− α )$ — скалярное произведение $⃗a$ и $⃗b′.$

S = 1(⃗a,⃗b′)= 1⋅(−ml+ nk) 2 2

Минимизируем $nk − ml :$

350- 350 ( n -l) nk− ml= n ⋅ l − l⋅ n = 350⋅ l − n

По построению, не умаляя общности, $n> l$ (иначе бы строили перпендикуляр относительно вектора $⃗a,$ а не $⃗b$ ).

Для минимизации выражения нужно, чтобы $n l$ было минимально. Тогда $n 7 l = 5.$

Получаем окончательное значение площади:

( ) S = 12 ⋅350 ⋅ 75 − 57 =120

Ответ: 120

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#39645

$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?

Источники: Физтех-2011, отборочный тур, 9 (см. fizteh2013.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем перевести задачу на язык шаров и перегородок. В конце концов в протоколе у нас будет пять значений – количество голосов за каждого кандидата. И нам нужно найти количество таких протоколов. Хм... Какое тогда уравнение можно составить, чтобы в дальнейшем применить идею шаров и перегородок?

Подсказка 2

Верно, если за 1, 2, 3, 4 и 5 кандидата проголосуют соответственно a, b, c, d и e депутатов, то их сумма будет равна 19. И того, учитывая ограничения на количество голосов(проголосовавших депутатов) нам нужно найти количество таких пятёрок. Тогда с точки зрения шаров и перегородок, что нам нужно сделать?

Подсказка 3

Да, нам нужно расставить 4 перегородки в какое-то количество мест. Поймём теперь в какое. Надо не забыть, что перегородки могут стоять в начале и в конце(когда за кандидата никто не проголосовал, например) и рядом между собой(тогда за кандидата между ними 0 голосов). Итого у нас получается всего элементов 23 – это 20 мест для одной перегородки между шарами и по краям, но у нас ещё есть 3 перегородки, которые могут стоять рядом с нашими позициями, то есть ещё дополнительных 3 места.

Показать ответ и решение

Количество различных протоколов соответствует количеству различных упорядоченных пятёрок $(x ,x ,x ,x,x ) 1 2 3 4 5$ , таких что $x1+ x2+ x3+x4+ x5 = 19$ с учётом того, что у нас есть ограничения $x1 ≤ 19,x2 ≤ 19,x3 ≤ 19,x4 ≤19,x5 ≤19.$

Такая задача эквивалентна тому, чтобы расставить $4$ перегородки между $19$ шариками, причем перегородки могут стоять в начале, в конце или на одной и той же позиции (так как голосов каждого вида может быть любое количество от $0$ до $19$ , то есть ограничения на количество голосов, кроме уравнения - связки, у нас нет). Количество элементов в каждой из получившихся пяти группах между перегородками (возможно, каких-то пустых) это и будут значения $x1,x2,x3,x4,x5.$

Итак, у нас есть $23$ элемента - $19$ шариков и $4$ перегородки. Количество различных (!) их перестановок равно $4 C 23.$

Ответ:

$8855$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41317

Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наши числа это x и y. В условии упоминается сумма всех трехзначных без них, получается нужно её записать. Тогда эта сумма делится на 770. Что тогда можно сказать об x + y?

Подсказка 2

Сумма всех чисел без x и это (999+100/2 * 900 - x - y, а т.к. это делится на 770, значит x+y = 210(mod 770). Какой тогда может быть их сумма? Остаётся лишь рассмотреть случаи x+y. Как после этого находить x и y по отдельности?

Подсказка 3

Поделив сумма всех чисел без x и y на 770, найдем x или y, а оттуда проверим, выполняется ли условие!

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму всех трёхзначных чисел без двух выбранных $x,y :x< y$

999+100 100+ ...+999− x− y = 2 ⋅900− x− y = 450⋅1099− x − y =494550− x− y

Из условия следует, что эта сумма в $770$ раз больше $x$ или $y,$ так что

494550− x− y7≡70 0.

494550 ≡ 210 ≡ x+ y. 770 770

Тогда $x+y ∈{210,980,1750}$ — другие значения невозможны, поскольку оба числа трёхзначные. Разберём эти три случая:

$x +y = 1750,494550− x− y = 640⋅770,$ то есть $x= 640,y = 1110$ — такое невозможно.
$x +y = 980,494550 − x− y = 641⋅770,$ тогда $y = 641,x= 339.$ Здесь наибольшее будет $641.$
$x +y = 210,494550 − x− y = 642⋅770,$ здесь $y = 642$ и $x< 0,$ также невозможно.

Итак, единственным возможным значением будет $641.$

Ответ:

$641$