Отбор Турлома
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В классе 
учеников. На уроке программирования они делятся на три группы. На уроке английского языка они тоже делятся на три
группы, но по-другому. И на уроке физкультуры они делятся на три группы каким-то третьим способом. Докажите, что найдутся хотя бы
два ученика, которые на всех трёх занятиях находятся друг с другом в одной группе.
Источники:
Подсказка 1
Давайте немного переформулируем задачу, чтобы условие стало проще, а Дирихле применить было легче! Посмотрим на одного ученика. В первый раз его распределили в одну из трех групп, потом еще раз в одну из трех других групп, и в третий раз снова в одну из трех групп. Занумеруем эти группы. Тогда каждому ученику сопоставим последовательность из трех номеров групп, в которых он оказался!
Подсказка 2
Например, Вася был сначала в первой группе, затем в третьей, а на физкультуре снова в первой. Тогда его последовательность - 1,3,1. Теперь наша задача доказать, что у каких-то двух учеников полностью совпали их последовательности! Тут нам и поможет принцип Дирихле
Первое решение.
На уроке программирования можно выбрать группу, в которой 
человек, по принципу Дирихле (если нужно посадить 
котиков в
домика, то найдётся домик, в котором хотя бы 
котиков, иначе всего их не больше 
). Рассмотрим эти десять ребят,
которые уже провели один урок в одной группе. На уроке английского хотя бы 
из них снова будут в одной группе по принципу Дирихле
(если садим 
кроликов в 
клетки, то хотя бы в одной клетке найдётся 
кролика). Теперь рассмотрим этих четверых детей и снова
заметим, что по принципу Дирихле на уроке физкультуры найдутся двое в одной группе. Эти двое и являются искомыми
учениками.
Второе решение.
На каждом из трёх предметов занумеруем группы числами от 
до 
Каждому ученику сопоставим последовательность из трех
номеров групп (в фиксированном порядке), в которых он оказался. Всего последовательностей длины 
состоящих из чисел 
ровно
Тогда по принципу Дирихле найдутся два ученика с одинаковыми последовательностями, это и означает, что на всех
предметах они попали в одинаковые группы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны 
и 
Найдите его
площадь.
Источники:
Подсказка 1
Когда в задачах по геометрии даны перпендикулярные прямые, но явно не обозначена точка их пересечения, то часто бывает, что нужно продлить прямые до их пересечения. Попробуйте сделать это и в нашей задаче. Какие фигуры получатся?
Подсказка 2
Правильно, получатся два прямоугольных треугольника — с гипотенузой, равной а, и с гипотенузой, равной b. Обозначьте неизвестные стороны какими-нибудь буквами, не забывая, что перпендикулярные стороны равны друг другу. Как теперь выразить площадь четырехугольника?
Подсказка 3
Верно, как разницу площадей этих прямоугольных треугольников! Теперь у нас есть формула для площади, но в ней всё ещё присутствуют неизвестные стороны. Значит, нужно найти, как ещё данные a и b из условия связаны c длинами неизвестных сторон. Какую теорему о прямоугольных прямоугольниках мы знаем?
Подсказка 4
Теорему Пифагора! Распишите теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, немного преобразуйте и подставьте в формулу для площади!
Если 
то получаем прямоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а не перпендикулярны.
Пусть для определённости дальше 
Если 
то нужно будет в ответе поменять буквы местами, поэтому учтём это знаком
модуля.
Первое решение.
.png)
Обозначим длину двух равных сторон через 
. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких
отрезков через 
и 
Площадь 
исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами
и 
и с катетами 
и 
. Поэтому
По теореме Пифагора
Поэтому
В итоге площадь многоугольника равна
Второе решение.
.png)
Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной 
из которого вырезан квадрат со стороной 
Поэтому
площадь одного многоугольника равна 
