Отбор Турлома
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В классе 
учеников. На уроке программирования они делятся на три группы. На уроке английского языка они тоже делятся на три
группы, но по-другому. И на уроке физкультуры они делятся на три группы каким-то третьим способом. Докажите, что найдутся хотя бы
два ученика, которые на всех трёх занятиях находятся друг с другом в одной группе.
Источники:
Первое решение.
На уроке программирования можно выбрать группу, в которой 
человек, по принципу Дирихле (если нужно посадить 
котиков в
домика, то найдётся домик, в котором хотя бы 
котиков, иначе всего их не больше 
). Рассмотрим эти десять ребят,
которые уже провели один урок в одной группе. На уроке английского хотя бы 
из них снова будут в одной группе по принципу Дирихле
(если садим 
кроликов в 
клетки, то хотя бы в одной клетке найдётся 
кролика). Теперь рассмотрим этих четверых детей и снова
заметим, что по принципу Дирихле на уроке физкультуры найдутся двое в одной группе. Эти двое и являются искомыми
учениками.
Второе решение.
На каждом из трёх предметов занумеруем группы числами от 
до 
Каждому ученику сопоставим последовательность из трех
номеров групп (в фиксированном порядке), в которых он оказался. Всего последовательностей длины 
состоящих из чисел 
ровно
Тогда по принципу Дирихле найдутся два ученика с одинаковыми последовательностями, это и означает, что на всех
предметах они попали в одинаковые группы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны 
и 
Найдите его
площадь.
Источники:
Если 
то получаем прямоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а не перпендикулярны.
Пусть для определённости дальше 
Если 
то нужно будет в ответе поменять буквы местами, поэтому учтём это знаком
модуля.
Первое решение.
.png)
Обозначим длину двух равных сторон через 
. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких
отрезков через 
и 
Площадь 
исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами
и 
и с катетами 
и 
. Поэтому
По теореме Пифагора
Поэтому
В итоге площадь многоугольника равна
Второе решение.
.png)
Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной 
из которого вырезан квадрат со стороной 
Поэтому
площадь одного многоугольника равна 
