1.17 Окружность: описанная около многоугольника

Так как дуги относятся как то можно принять дугу за дугу за дугу за и дугу за Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна то

Угол равен вписанному углу опирающемуся на дугу равную Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то

Пусть — центр окружности. Проведем радиусы Пусть

Так как и , то точки лежат на одной прямой. Следовательно, — высота трапеции.

Рассмотрим треугольник По формуле Герона его площадь равна

С другой стороны, откуда

Рассмотрим треугольник Аналогично ищем и откуда Следовательно,

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна то около него можно описать окружность, тогда около можно описать окружность.

и — вписанные, опирающиеся на одну дугу, тогда они равны и их отношение равно 1.

Так как то около четырёхугольника можно описать окружность. Покажем это:

и — вертикальные, тогда тогда треугольники и подобны по двум углам, откуда получаем:

Но углы и также вертикальные, тогда и треугольники и подобны, так как если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Из подобия получаем: тогда

так как это сумма углов треугольника .

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна то около него можно описать окружность, тогда около можно описать окружность.

Так как произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой, то то есть

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники — равнобедренные, то

Значит,

Т.к. сумма углов треугольника равна то

Рассмотрим картинку:

По признаку около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, сумма двух противоположных его углов равна Таким образом,

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Т.к. то

Т.к. градусная мера всей окружности равна то

Таким образом,

Следовательно, меньший из углов равен

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Следовательно,

Т.к. градусная мера всей окружности равна то

Тогда вписанный

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Следовательно, откуда

Значит, вписанный Следовательно, из прямоугольного треугольника

и — вписанные, тогда

Таким образом,

где — градусная мера окружности.

Так как то

…, — вписанные, тогда …,

Назовём меньшую дугу малой. Аналогично назовём меньшие дуги …, малыми. Каждую из дуг …, можно разложить в сумму малых дуг.

(сумму некоторых малых дуг).

Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, войдёт раз (среди слагаемых , …, она не входит только в ).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму раз, следовательно,

где — градусная мера окружности.

Так как то

1 способ.

Пусть Проведем

Тогда также является и медианой, следовательно, Тогда Следовательно,

По теореме синусов

2 способ.

Если — радиус описанной окружности, то верна формула

Найдем площадь треугольника по формуле Герона (полупериметр ):

Тогда

1 способ.

Рассмотрим чертеж:

Пусть — центр окружности, — три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда

Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен и соответственно.

Проведем — радиусы. Так как то К тому же эти треугольники равнобедренные ( и их основания), следовательно,

Отсюда

Значит, дуга равна Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то вершин многоугольника разбивают окружность на дуг, градусные меры которых равны То есть

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен а сумма всех углов правильного многоугольника равна где — число вершин, то

В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды и равны, то равны дуги и Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

Таким образом, — трапеция ( — накрест лежащие при прямых и и секущей ). Значит, как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

Обозначим точки как на картинке ниже.

следовательно, и — биссектрисы соответствующих углов, следовательно, сумма углов и равна полусумме углов и т.е. Тогда по сумме углов треугольника его угол также равен как вертикальные.

Проведя аналогичные рассуждения для биссектрис и получим, что угол также равен Тогда в четырехугольнике сумма противоположных углов

Следовательно, — вписанный.

Так как треугольник прямоугольный — является диаметром и точка принадлежит Рассмотрим как угол вписанный в окружность. Тогда — центральный угол, следовательно,

Углы и — смежные, тогда

Так как — центральный, опирающийся на дугу его градусная мера равна градусной мере этой дуги —

По свойству вписанного четырёхугольника Тогда

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна Так как не равно значит и — градусные меры соседних углов вписанного четырехугольника. Найдем два оставшихся угла треугольника:

и

Больший угол четырехугольника равен

Проведем радиусы к каждой вершине правильного шестиугольника. Весь шестиугольник разбит на 6 одинаковых равносторонних треугольника. Угол между соседними радиусами равен ; все шесть треугольников равнобедренные, так как две стороны равны радиусу описанной окружности; следовательно, углы в каждом треугольнике равны Следовательно, радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Сторона шестиугольника

В равностороннем треугольнике — высота, медиана и биссектриса. — радиус окружности вписанной в шестиугольник. Из треугольника с углами

катет, лежащий напротив угла

Диаметр вписанной окружности

Угол — вписанный, так как его вершина лежит на окружности. Он опирается на дугу

Угол — вписанный, так как его вершина лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы и равны, так как опираются на одну дугу Поэтому