Тема ТурГор (Турнир Городов)

Стереометрия на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85517

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$ , а боковых граней - в точках $K,M$ и $N$ . Прямые $P K,PM,PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $′ ′ ′ K ,M ,N$ . Докажите, что прямая SP проходит через центр описанной окружности треугольника $′ ′ ′ K M N$ .

Источники: Турнир городов - 2024, весенний тур, 11.5 (см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем упростить задачу. Если продлить отрезки PK', PM' и PN' в 2 раза, их концы (K'', M'' и N'') будут лежать в одной плоскости с точкой S. Нам нужно доказать, что S — центр окружности, описанной вокруг треугольника K''M''N''. Но как это можно доказать?

Подсказка 2

Например, можно доказать равенство SK и SK'', SM и SM'', SN и SN''. Мы знаем, что SK = SM = SN, так как это касательные к сфере из одной точки. Как доказать, что SK и SK'' равны?

Подсказка 3

Если продлить прямую SK до пересечения с плоскостью основания, то образуется пара подобных треугольников, из которых можно получить, что SK и SK'' равны.

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Сделаем гомотетию с центром $P$ и коэффициентом 2. Пусть $′′ ′′ ′′ K ,M ,N$ — образы точек $′ ′ ′ K ,M ,N ,T$ — точка пересечения прямой $SK$ с плоскостью $ABC$ . Тогда $TK =T P$ как касательные к сфере, и, поскольку треугольники $PKT$ и $′′ K KS$ подобны, то $′′ SK = SK$ . Аналогично $′′ ′′ SM = SM,SN = SN$ . Но $SK = SM = SN$ как касательные, следовательно $S$ — центр окружности $′′ ′′ ′′ K M N$ , а середина $SP$ — центр окружности $KMN.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим сферу, проходящую через точки $K,M,N$ , с центром в точке $S$ , через $ω$ , вписанную сферу пирамиды — через $γ$ , а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды — через $α$ .

Сделаем инверсию с центром в точке $P$ , переводящую $γ$ в $α$ . Тогда точки $K,M, N$ перейдут в точки $K′,M′,N′$ . Так как $ω ⊥γ$ , то образ $ω$ будет перпендикулярен $α$ . Следовательно, образом $ω$ будет сфера, построенная на окружности ( $K′M′N′$ ) как на диаметральной окружности.

Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.

Рассмотрим стереографическую проекцию сферы $S$ на плоскость $π$ из точки $P ∈ S$ . Пусть $Q$ — точка вне сферы $S$ , а окружность $ω$ на $S$ , образованная касательными к $S$ из $Q$ , не проходит через $P$ . Тогда образом $ω$ будет окружность $ω′$ с центром в точке пересечения плоскости $π$ с лучом $PQ$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67555

Дана треугольная пирамида $SABC$ , основание которой — равносторонний треугольник $ABC$ , а все плоские углы при вершине $S$ равны $α$ . При каком наименьшем $α$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

Источники: Тургор - 2023, 11.1 (см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Эта задача на оценку + пример. Давайте попробуем сначала привести пример для угла, который, как нам кажется, подходит. А потом уже докажем, что для меньшего угла условие задачи не выполняется. Подумайте какой хороший угол нам подойдёт? Слова про правильные фигуры на это всячески намекают.

Подсказка 2

Верно, докажем, что при плоском угле 60 градусов наша пирамида окажется правильной. Нужно только понять, что если в треугольнике есть угол 60 градусов, то сторона напротив него средняя по величине между другими. Тогда предположив, что какое-то боковое ребро не равно ребру из основания, сможем получить противоречие и получить доказательство. Что же будет, если плоские углы будут меньше 60? Попробуйте построить пример неправильной пирамиды с таким углом, учитывая условия задачи и соотношения сторон по их размерам.

Подсказка 3

Давайте, рассмотрим равнобедренный треугольник SAB, в котором SA=SB и ∠S = α(α<60). Тогда сторона AB в нём наименьшая, и мы сможем его отложить на боковых сторонах. Осталось только понять, что отложив на рёбрах трёхгранного угла нужные отрезки(два из которых SA и SB) с плоскими углами меньше 60, мы получим неправильную пирамиду, то есть контрпример.

Показать ответ и решение

Докажем, что при $α = 60∘$ пирамида правильная. Пусть стороны треугольника $ABC$ равны 1. Заметим, что в любом треугольнике с углом $∘ 60$ против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно 1: например, $SA > 1$ . Тогда в гранях $SAB$ и $SAC$ рёбра $SB$ и $SC$ будут меньше 1, и значит, в грани $SBC$ ребро $BC$ — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами $∘ α< 60$ при вершине $S$ .

Рассмотрим треугольник $SAB$ c $SA = SB$ и $∠S =α$ . Так как $AB < SB$ , на стороне $SA$ существует такая точка $C$ , что $BC = AB$ . Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны $α$ , и отложим на его ребрах отрезки $SA$ , $SB$ , $SC$ . Пирамида $SABC$ — искомая.