Последовательности и прогрессии на Высшей пробе

Покажем индукцией по , что — это наименьшее натуральное число , для которого .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База: для удобства будем считать 0 натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, поскольку , и 0 — первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, поскольку и опять же, 0 — первое натуральное число с этим свойством. Итак, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход. Пусть . Тогда для всех натуральных чисел из отрезка имеем из определения . Но тогда . С другой стороны, то есть . Итак, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

а). Из приведенных выше рассуждений следует система неравенств (самая левая)

Преобразуем как написано выше, благо все числа положительны. Имеем, что условие выполняется для любого , такого что лежит в полуинтервале .

Отметим, что для решения задачи не обязательно описывать множество всех таких (как сделано выше), достаточно указать одно, например, , и доказать, что оно подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) Действуя аналогично, имеем:

Приходим к противоречию, что , что доказывает что такого не существует.

Будем называть последовательность, удовлетворяющую условию задачи ПУУЗ.

Заметим, что следующая операция из ПУУЗ делает ПУУЗ: из последовательности выкидываем первый член, а все остальные делим на 2. В самом деле, все члены остались плюс или минус степенями двойки, и положительных все еще бесконечно. Назовем эту операцию сокращением.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем по индукции утверждение: любое натуральное для любой ПУУЗ представляется в виде суммы некоторые ее различных членов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем что в таком виде представляется 1. В самом деле, у любой ПУУЗ есть положительные члены, пусть первый из них . Тогда заметим что

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть утверждение доказано для всех натуральных чисел, меньших . Рассмотрим и ПУУЗ . Если четное — представим в виде суммы нескольких различных членов сокращения , этому представлению соответствует представление в виде суммы различных членов . Если нечетное -— вычтем из него первый член , (который равен 1 или -1 ) и результат поделим пополам. Мы получили одно из чисел , оно натуральное и строго меньше , значит для него уже доказано, что оно представляется в виде суммы различных членов произвольной ПУУЗ, в частности — сокращения . Снова строим соответствующее представление в виде суммы различных членов .

Попробуем подобрать пример. Пусть члены арифметической прогрессии имеют вид Ясно, что эти числа не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии, потому что Попробуем рассмотреть геометрическую прогрессию, в которой и — последовательные, а между и есть один член, тогда справедливо равенство После домножения на знаменатели, привидения подобных и деления на мы получим равенство Чтобы свести его к уравнению от одной переменной, положим , тогда оно примет вид Это уравнение имеет корень Осталось заметить, что числа при положительном подходят к условию.

+ верное решение

± верное решение с небольшими недочётами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения)

+/2 задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано (или доказано неверно) существование отличного от 1 решения

-. приведено доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии

- решение не соответствует ни одному из критериев выше