Тема Межрегиональная им. И. Я. Верченко (криптография)

Геометрия и комбигео на Верченко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межрегиональная им. и. я. верченко (криптография)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90280

Четыре компьютера, расположенные в вершинах квадрата $ABCD$ , соединены прямолинейными отрезками проводов с сервером, который находится в точке пересечения диагоналей $O$ . Сторона квадрата равна 2 м. Несложно заметить, что для такого подключения потребуется $√- 4 2$ метров провода. Чтобы уменьшить длину проводов, вам разрешается передвинуть сервер из точки $O$ в любую другую точку $O1$ , а также компьютер из точки $A$ в любую другую точку $A1$ так, чтобы новая суммарная длина проводов $S =O1A1 +O1B + O1C+ O1D$ была как можно меньше. Разрешается компьютеры и сервер размещать в одной точке (например, точка $A1$ может совпасть с точкой $B$ ). Компьютеры в вершинах $B,C,D$ двигать нельзя. Чему равно минимальное значение $S$ ?

Источники: Верченко - 2024, 11.5 (см. ikb.mtuci.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о А₁ и O₁? Они совпадают, если мы ищем минимальное значение S(почему?). Тогда пусть А₁ = O₁ = K. Что можно сказать о расположении K? Где она должна лежать?

Подсказка 2

Симметричность расположения точек B и D, подсказывает, что сумма DK + KB наименьшая, когда K лежит на диагонали AC. Предположим обратное. Тогда нам нужна какая-то точка на диагонали, чтобы показать, что для неё S меньше. Какую бы выбрать?

Подсказка 3

Конечно, основание перпендикуляра K на AC, пусть это точка K₁. Если CK > CK₁ (длина наклонной и проекции), то что делать с DK + KB непонятно. Обычно на помощь всегда приходит неравенство треугольника. Но треугольника с необходимыми сторонами нет, значит, его нужно построить!

Подсказка 4

Теперь, когда доказано, что K лежит на диагонали, достаточно обозначит один из отрезков ОK или KC за x. Тогда S превратиться в некоторую функцию от х, у которой нужно будет найти минимум на отрезке [0; √2].

Показать ответ и решение

Заметим, что точки $A 1$ и $O 1$ совпадают.

Действительно, пусть минимум достигается на конфигурации, где это не так. Но тогда, сдвинув точку $A1$ в точку $O1$ , мы длину проводов уменьшим. Таким образом, компьютер $A1$ и сервер $O1$ должны оказаться в некоторой точке $K (K =A1 =O1).$

Покажем, что $K$ лежит на диагонали $AC$ .

Предположим обратное. Пусть $K1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$ . Покажем, что сумма расстояний от точки $K1$ до вершин $B,C,D$ , которую обозначим $SK1 = K1B + K1C+ K1D$ , меньше аналогичной суммы $SK = KB +KC +KD$ . Длина проекции меньше длины наклонной, поэтому $K1C < KC$ . Чтобы доказать, что

K1D + K1B <KD +KB (1)

отразим отрезок $BD$ относительно прямой $KK1$ (при этом точка $B$ перейдет в точку $B1$ , точка $D$ — в точку $D1$ ).

$PIC$

Точки $B,K1,D1$ окажутся на одной прямой. Тогда $K1D + K1B = K1D1+ K1B =D1B$ , и при этом $KD +KB = KD1 + KB > D1B$ . Неравенство (1) доказано. Следовательно, $SK1 < SK$ , а значит, искомая точка $K$ должна лежать на диагонали.

Пусть $OK =x$ . Рассмотрим функцию

S(x)= KC + KB +KD =2∘x2-+-2+√2-− x

$PIC$

′ ∘ -2--- S(x)= 2x∕ x + 2− 1

На отрезке $[0;√2]$ функция $S(x)$ принимает минимальное значение в точке $x0 =∘2-∕3,$ а само минимальное значение равно

S(x )= 2∘2-∕3+2-+√2-− ∘2-∕3= √6+ √2 0

Ответ:

$√6-+√2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68239

На координатной плоскости в точках $A(2,4),B(8,8),C(8,0),D (14,1)$ и $E(8,1)$ расположены вышки сотовой связи. Будем говорить, что абонент находится в зоне действия данной вышки, если расстоянии до неё меньше, чем до любой другой вышки. Найдите площадь зоны действия вышки $E.$

Источники: Верченко-2023 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала изобразим наши точки на координатной плоскости. Попробуйте подумать над двумя вышками, какая область будет под действием одной из них?

Подсказка 2

Можно посмотреть на отрезок между этими двумя вышками и просто посмотреть на серединный перпендикуляр к нему: это геометрическое место точек, такое что расстояние от одной и другой вышек одинаковые до них. И если сместиться в одну сторону - то ближе будет одна вышка, в другую - другая) Попробуйте применить серединные перпендикуляры для вышки E и всех остальных!

Показать ответ и решение

Для начала требуется отобразить точки на координатной плоскости. Так как по условию задачи требуется найти площадь зоны действия вышки $E$ , то соединим отрезками точку $E$ с точками $A,B,C,D$ . Далее проведём через полученные отрезки серединные перпендикуляры и выделим область, полученную пересечением таких перпендикуляров (отмечены на рис. оранжевым цветом). Таким образом, получаем трапецию (см. рисунок ниже), которая демонстрирует область зоны действия вышки $E$ :

$PIC$

Осталось посчитать площадь полученной трапеции. Пересечение срединных перпендикуляров дало нам 4 точки с координатами $F(6,4.5),H (11,0.5),K(4,0.5),G(11,4.5)$ . Площадь данной трапеции

S = 12 ⋅(HK + FG)⋅HG = 12 ⋅(5+ 7)⋅4= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99580

На координатной прямой отмечены $9$ точек с координатами $2;25;7;−3;12;19;−5;8;9.$ Найдите координату точки, сумма расстояний от которой до указанных $9$ точек минимальна. Ответ обоснуйте.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте упорядочить точки и предположить, каким может быть ответ. Как изменится сумма расстояний, если точку подвинуть совсем на немного?

Подсказка 2

Если искомую точку подвинуть так, чтобы она не «перепрыгнула» через одну из наших точек на прямой, то как изменится сумма расстояний?

Подсказка 3

Сумма расстояний только увеличится! Значит, имеет смысл рассмотреть искомую точку так, чтобы она совпадала с одной из данных на прямой ;)

Показать ответ и решение

Расположим числа в порядке возрастания: $− 5;− 3;2;7;8;9;12;19;25.$ Покажем, что медиана этого ряда - число $8$ - является искомым. Обозначим $s(y)$ — сумма расстояний от числа $y$ до остальных чисел.

Рассмотрим число $y = 8+ x.$ Если $x∈ (0;1),$ то сумма расстояний от $y$ до первых четырёх чисел увеличится на $4x,$ а до последних четырёх — уменьшится на $4x$ (по сравнению с числом $8$ ), и при этом до самого числа $8$ расстояние равно $x,$ то есть $s(y)= s(8)+ x.$ Если $x =1$ , то есть $y = 9$ , то сумма расстояний от $y$ до всех чисел будет равна $s+ 1.$ Рассуждая аналогично при $x∈ (1;+∞ ),$ получим вывод: минимальное значение $s(y)$ достигается при $y = 8.$ При отрицательных значениях $x$ рассуждения ничем не отличаются.