Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Стереометрия на ФЕ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68182

На плоскости в ортогональной проекции изображена правильная пирамида $SABC$ (с основанием $ABC$ ) и высота $AH$ грани $SAB,$ как показано на рисунке.

$PIC$

Как с помощью циркуля и линейки построить изображение центра сферы, описанной возле пирамиды?

Источники: ФЕ-2023, 11.4 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумаем, вообще где должен быть центр сферы. Ну он лежит точно в плоскости, которая перпендикулярна ребру... А через какую точку на ребре будет проходить такая плоскость?

Подсказка 2

В нашем случае - через середину, а середину ребра мы точно сможем сделать) Теперь подумаем где еще может быть центр описанной окружности в правильной пирамиде. Например, на высоте) А эту высоту как раз можно найти в нашей плоскости. Но надо еще понять как построить само основание высоты...

Подсказка 3

В нашем случае, основание высоты будет также центром основания и пересечением медиан, которое мы точно умеем строить: просто пересекая медианы. Осталось найти еще бы одну прямую, что если пересечь ее с высотой, то получится нужная точка....

Подсказка 4

Напомню, что прямая AH перпендикулярна ребру SB, а у нас еще есть середина стороны...

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $M$ - середина $AC,$ $N$ - центр основания $ABC.$ Тогда центр описанной сферы лежит на $SN$ (поскольку пирамида правильная). Проекция $M$ строится как середина проекции $AC,$ а проекция $N$ – как точка, делящая проекцию $BM$ в отношении $2:1.$ Обозначим через $m$ прямую, параллельную $MH$ и проходящую через середину $SB.$ Она проходит через центр описанной сферы: $AH$ и $CH$ перпендикулярны $SB,$ так что $m$ перпендикулярна $SB,$ а также $m$ пересекает $SN.$ Проекция $m$ строится как параллельный перенос проекции $MH,$ проходящий через середину проекции $SB.$ Эта проекция пересекает проекцию $SN$ ровно в проекции центра описанной сферы.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74785

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA ′B′C′D ′$ отметили середину $O$ медианы $AM$ треугольника $AB ′D ′$ . Оказалось, что эта точка удалена от прямых $′ ′ AB ,AD$ и от грани $ABCD$ на расстояние 1 . Найдите объём параллелепипеда.

Источники: ФЕ-2022, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем изучить картинку. Наша точка O равноудалена от прямых AD' и AB', следовательно она лежит на биссектрисе угла ∠D'AB'. Но по условию, O- середина медианы. Что мы тогда можем сказать про треугольник △D'AB'?

Подсказка 2

Верно, он равнобедренный! Тогда AD'=AB'. Значит и прямоугольные треугольники △AA'B' и △AA'D' равны по катету и гипотенузе. Нетрудно видеть, что расстояние от M до плоскости (ABCD) равно удвоенному расстоянию от O до этой же плоскости, т.е. 2. Давайте обозначим длину AB за x и попробуем выразить через нее остальные отрезки...

Подсказка 3

AB' и B'D' можно легко найти из теорем Пифагора. Тогда в треугольнике △D'AB' мы знаем все стороны ⇒ можем воспользоваться формулой для нахождения медианы AM. А что можно сказать про треугольники △AOX и △AB'M?

Подсказка 4

Точно, они подобны! Тогда B'M*AO/AB' = OX = 1, где X- основание перпендикуляра из O на AB'. Мы уже умеем выражать B'M, AO и AB' через x, поэтому мы сможем решить уравнение и найти x. Сделайте это и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $X$ и $Y$ - это основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB′$ и $AD′$ . Точка $O$ на медиане $AM$ равноудалена от сторон треугольника $AB ′D ′$ , поэтому она лежит также на биссектрисе; значит, медиана является биссектрисой, поэтому $AB ′ =AD ′.$

$△ADD ′ = △ABB ′$ по катету и гипотенузе, тогда $AB =AD.$ Обозначим длины отрезков $AB = AD$ и $AA ′$ через $x$ и $z$ . Тогда

√ --- √------- AB′ = AD′ = ∘x2-+z2,B′M =D ′M =--2x2,AO = -2x2+-4z2- 2 4

. Taкжe

′ ∘ -2-2----2- OX =OY = B-MAB⋅A′O-(из подобия △AOX и △AB ′M )= 14 x-(xx2++2z2z-)

Расстояние от точки $O$ до основания $ABCD$ в 2 раза меньше, чем расстояние от $M$ до основания $ABCD,$ то есть $OX = z2 = 1$ , откуда легко получается $z =2$ и