Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Планиметрия на ФЕ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85911

Прямая $ℓ$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ . Точки $D$ и $E$ таковы, что $CD$ и $BE$ перпендикулярны $ℓ$ , а углы $DAC$ и $EAB$ прямые. Докажите, что $BD$ и $CE$ пересекаются на высоте треугольника $ABC$ из вершины $A$ .

Источники: ФЕ - 2024, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу обозначим точки пересечения l с CD и BE за F и G соответственно. Так как у нас фигурирует высота, то неплохой идеей было бы отметить ортоцентр H. Что про него можно сказать?

Показать доказательство

Пусть $H$ — ортоцентр $ABC.$

$AD$ перпендикулярно $AC$ и $BH$ перпендикулярно $AC$ , значит $AD∥BH$ . Пусть касательная в точке $A$ пересекает $CD$ в точке $F.$

$PIC$

$∠FAC = ∠ABC$ как угол между касательной и хордой.

∠CDA = 90∘ − ∠ACD =90∘− (90∘− ∠FAC )=∠F AC =∠ABC

Значит, точки $C,D, A,H$ лежат на одной окружности. Значит, $∠DHC$ - прямой, а значит $DH ∥AB$ .

Тогда $BADH$ — параллелограмм, а значит, $BD$ проходит через середину $AH$ . Аналогично $CE$ тоже через неё проходит, ч.т.д.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94759

Дан треугольник $ABC.$ $O 1$ — центр его вписанной окружности; $O 2$ — центр окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений двух других сторон треугольника $ABC$ . На дуге $BO2$ описанной окружности треугольника $O1O2B$ отмечена такая точка $D$ , что угол $BO2D$ вдвое меньше угла $BAC.$ $M$ — середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$ . Докажите, что точки $D,M, C$ лежат на одной прямой.

Источники: ФЕ - 2021, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ух, как много всего на картинке... Можно не рисовать сразу вписанную и вневписанную окружности из условия, так как там говорилось только про их центры. И что мы знаем про центры этих окружностей? Можем ли мы найти какие-то углы?

Подсказка 2

Центры окружностей являются точками пересечения биссектрис, а тогда стоит обратить внимание на вершины треугольника, из которых исходят сразу 2 биссектрисы! Углы между ними как раз и можем определить. А что хорошего это даёт?

Подсказка 3

Ага, перед нами вписанный четырёхугольник! Тогда можно перекинуть угол BO₂D. А что там с углом BAC? Чему будет равна его половинка и как воспользоваться серединой дуги, точкой М?

Подсказка 4

Как связаны ∠BCM и ∠BAC? Тогда какой вывод можем сделать об углах ∠BCM и ∠BCD? Задача решена!

Показать доказательство

Заметим, что углы $O BO 1 2$ и $O CO 1 2$ прямые (как углы между биссектрисами смежных углов), поэтому $B,O ,C,O 1 2$ лежат на одной окружности, и

1 ∠BCD = ∠BO2D = 2∠BAC

$PIC$

Но угол $BCM$ тоже равен $12∠BAC$ (поскольку опирается на половину дуги $BC$ ), так что точки $D,M,C$ лежат на одной прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94763

На плоскости нарисован равносторонний треугольник и три окружности с центрами в его вершинах, причём радиус каждой из окружностей меньше высоты треугольника. Точка плоскости красится в жёлтый цвет, если она лежит внутри ровно одной из окружностей; в зелёный, если внутри ровно двух; в синий, если внутри всех трёх:

$PIC$

Оказалось, что жёлтая площадь равна 1000 , зелёная 100 , а синяя — 1 . Что больше: сторона треугольника или суммарная длина зелёных отрезков, лежащих на сторонах треугольника?

Источники: ФЕ - 2021, 11.6 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали площади всех частей. Давайте попробуем выразить с их помощью площадь треугольника, ведь тогда сможем найти его сторону!

Подсказка 2

Жёлтую площадь внутри треугольника так просто не найти... Но зато сможем найти площади частей кругов, лежащих внутри треугольника (если найдём сумму площадей всех кругов), а потом вычтем лишние площади. Стоит заметить, что картинка симметричная, поэтому зелёные площади делятся сторонами треугольника пополам!

Подсказка 3

Отлично, площади треугольника и его сторону (он ведь равносторонний) нашли! Осталось её сравнить с суммой длин отрезков. Попробуйте выразить длины всех зелёных отрезков при помощи стороны треугольника и радиусов окружностей. И сравнить их сумму со стороной треугольника.

Подсказка 4

У вас наверняка получилось сравнение r₁ + r₂ + r₃ V 2a (V - неизвестный знак). Сумму радиусов мы не знаем, но что мы можем найти из известной нам суммы площадей кругов? А при помощи какого неравенства можно перейти к этому?

Подсказка 5

Из суммы площадей кругов мы знаем сумму квадратов радиусов! А какое неравенство связывает сумму чисел и сумму их квадратов? Тогда что будет больше?

Подсказка 6

Поможет неравенство о среднем арифметическом и средним квадратическим или неравенство КБШ (Коши-Буняковского-Шварца)! Остаётся только подставить числа и проверить, действительно ли (2а)² > 3(r₁² + r₂² + r₃²).

Показать ответ и решение

Сумма площадей трёх кругов равна $1000+ 2⋅100 +3⋅1= 1203$ ; сумма площадей трёх «линз» равна $100+ 3⋅1= 103$ («линза» - это пересечение двух кругов). Площадь треугольника равна $S1− S2+S3$ , где

$S1 =1203∕6$ — сумма площадей трёх 60-градусных секторов,

$S2 =103∕2$ — сумма площадей половинок трёх «линз», лежащих внутри треугольника; $S3 = 1$ — площадь синей области.

Действительно, при таком подсчёте каждая жёлтая область внутри треугольника посчитана 1 раз, каждая зелёная: $2− 1=1$ раз, синяя область: $3− 3+1 =1$ раз.