Тема ИТМО (открытка)

Тригонометрия на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68642

Вася написал на доске три числа: $sinx,sin2x$ и $sin 3x$ в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить, какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:

(1) У Пети всегда получится определить, где $sinx,$ где $sin2x,$ а где $sin3x.$

(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.

(3) Никогда не получится.

Источники: ИТМо-2023, 11.3 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Интуитивно можем догадаться, что всё-таки при некотором наборе можно будет однозначно определить, какое число где, а при некотором не получится.

Подсказка 2.

Это верно для x₁ = π/2, x₂ = -π/2. Теперь наша цель найти такой набор, который получится однозначно определить. Возьмем x₀ = π/17. Тогда (sin(x₀), sin(2*x₀), sin(3*x₀)) = (sin(π/17), sin(2*π/17), sin(3*π/17))

Подсказка 3.

Например, при x = 2*π/17 + 2πk: sin(x) = sin(2*x0). Но sin(2*x) = sin(4π/17), что явно больше, чем sin(π/17) и sin(3*π/17). Получается, что при таком x получается другой набор синусов. Попробуйте доказать, что в каждом из остальных случаев также будет получаться другой набор синусов.

Показать ответ и решение

Если $x = π,2x = 2π,3x = 3π-, 0 17 0 17 0 17$ то их синусы различны и положительны.

Пусть найдётся $x$ для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём случаи возможных $x,$ когда $sinx$ совпадает с одним из написанных на доске чисел:

1) $x= π-+ 2πk. 17$ Синусы получаются такие же, как и для $x0$ в том же порядке.

2) $x = 16π-+ 2πk. 17$ В этом случае $sinx$ и $sin3x$ получаются такие же, как и для $x0$ в том же порядке, а $sin2x$ меняет знак, т.е. получается другой набор чисел.

3) $2π x= 17 + 2πk.$ В этом случае $sinx= sin2x0.$ Однако $(4π) sin 2x = sin 17 ,$ что не совпадает ни с $sinx0,$ ни с $sin3x0,$ так как больше каждого из них.

4) $15π- x = 17 + 2πk.$ В этом случае $sinx= sin2x0.$ Однако $(30π) sin2x =sin 17 ,$ что не совпадает ни с $sinx0,$ ни с $sin3x0,$ так как отрицательно.

5) $x= 3π+ 2πk. 17$ В этом случае $sinx= sin3x0.$ Однако $( ) sin 2x = sin 6π , 17$ что не совпадает ни с $sinx0,$ ни с $sin2x0,$ так как больше каждого из них.

6) $x = 14π-+ 2πk. 17$ В этом случае $sinx= sin3x0.$ Однако $( ) sin2x =sin 28π , 17$ что не совпадает ни с $sinx0,$ ни с $sin2x0,$ так как отрицательно.

Таким образом, единственная возможность получить те же 3 синуса, это случай 1), в котором порядок синусов также совпадает.

Теперь приведём противоположный пример: рассмотрим $x1 = π. 2$ Тогда $sinx1 = 1,sin2x1 = 0,sin3x1 = −1.$ С другой стороны, пусть $x = − π. 2 2$ Тогда $sinx =− 1,sin2x = 0,sin3x =1. 2 2 2$ Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от друга.