Тригонометрия на ИТМО

Если то их синусы различны и положительны.

Пусть найдётся для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём случаи возможных когда совпадает с одним из написанных на доске чисел:

1) Синусы получаются такие же, как и для в том же порядке.

2) В этом случае и получаются такие же, как и для в том же порядке, а меняет знак, т.е. получается другой набор чисел.

3) В этом случае Однако что не совпадает ни с ни с так как больше каждого из них.

4) В этом случае Однако что не совпадает ни с ни с так как отрицательно.

5) В этом случае Однако что не совпадает ни с ни с так как больше каждого из них.

6) В этом случае Однако что не совпадает ни с ни с так как отрицательно.

Таким образом, единственная возможность получить те же 3 синуса, это случай 1), в котором порядок синусов также совпадает.

Теперь приведём противоположный пример: рассмотрим Тогда С другой стороны, пусть Тогда Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от друга.

Докажем существование таких чисел и что

и, кроме того,

Тогда на доске находятся, во-первых, числа и а во-вторых, и невозможно определить, где какое число.

Решаем уравнение:

Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем

Обозначив получаем

Это уравнение имеет подходящий корень Осталось убедиться, что при таком значении все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или совпадают при квадрате синуса равном совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.

Можно также просто вычислить эти числа, это

Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором и меняются местами.