Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Уравнения и неравенства на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128579Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ----- √ ----- 9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ ----- √ ----- 9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

√ ----- f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

( |||8− 7x≥ 0 {x≥ 0 |||( 2 8− 7x≤ x

Получаем

[ ] x∈ 1;8 7

Ответ:

$[1;8] 7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#128581Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 1 ||||| a+ b =1 ||||| b+ 1 =4 { c , |||| c+ 1 =1 ||||| d ||( d+ 1 =4 a

если $a >0,b> 0,c> 0,d> 0$ .

Источники: Звезда - 2025, 10.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уравнения с 4 переменными и обратными к ним, а давайте все перемножим!

Подсказка 2

Система большая, целых 4 уравнения, было бы неудобно как-то их складывать или вычитать. Может, подумаем в сторону неравенств?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством о средних.

Подсказка 4

Все неравенства обернулись в равенства. Когда такое может быть?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Используем неравенство о средних:

1 ∘ a- 1 ∘ b- 1 ∘c- 1 ∘ d- a+ b ≥2⋅ b, b+ c ≥2 ⋅ c, c+d ≥ 2⋅ d, d+ a ≥ 2⋅ a

Перемножим неравенства:

( ) ( ) ( ) ( ) a + 1 ⋅ b+ 1 ⋅ c + 1 ⋅ d+ 1 ≥24 = 16 b c d a

Из условия, произведение левых частей исходной системы равно $1 ⋅4 ⋅1 ⋅4 =16,$ следовательно, все неравенства превращаются в равенства:

1 1 1 1 a= b, b= c, c= d, d = a

Тогда, после подстановки в изначальную систему, получаем

1 1 a= 2, b= 2, c= 2, d=2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Вычтем из первого уравнение третье, а из второго четвертое.

( ||{ a− c+ 1− 1= 0 | 1b d1 |( b− d +-c − a = 0

( ||{a− c+ d−-b= 0 | abd− c |(b− d+ -ac-= 0

Из второго уравнения системы выразим

d− b = a− c ac

Подставим в первое:

a− c+ a−-c= 0 abcd

( ) (a− c) 1 +--1- = 0 abcd

Так как $a,b,c,d >0,$ то произведение $abcd$ не может быть равно $− 1.$ Следовательно, $a− c =0,$ то есть $a= c.$ Тогда и $d− b= 0,$ то есть $d= b.$ Получаем систему:

(|| a+ 1= 1 { b ||( b+ 1= 4 a

(||a = b− 1 { b ||(b +--b- =4 b− 1

Решая второе уравнение:

b(b− 1)+ b= 4(b− 1)

b2− 4b+ 4= 0

(b− 2)2 = 0

Следовательно,

1 1 b= 2, d= 2, a= 2, c= 2

Ответ:

$a = 1 ,b= 2,c= 1,d =2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83742Максимум баллов за задание: 7

Даны числа $x,y,z$ такие, что

x 4 6 4 + sin y+ ln z = 16

Докажите, что

x+1 2 3 2 + 3sin y− 6ln z ≤ 28

Источники: Звезда - 2024, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?

Подсказка 2

Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!

Подсказка 3

Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!

Показать доказательство

Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы $⃗a= (2x;sin2y;ln3z)$ и $⃗b= (2;3;−6).$ Скалярное произведение

x+1 2 3 ⃗a ⋅⃗b =2 + 3sin y− 6ln z ≤ |⃗a|⋅|⃗b|

Имеем

⃗ √-------- |b|= 4+ 9+ 36 =7

|⃗a|= ∘4x+-sin4y+-ln6z =4

Тогда получаем, что

2x+1+ 3sin2y− 6ln3z ≤ 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69372Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 tgx x4 (x − 2)(2 − 1)+ (3 − 9)tgx =0

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?

Подсказка 2

Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.

Подсказка 3

Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!

Показать ответ и решение

Функции $y = 2t$ и $y = 3t$ - возрастающие, следовательно, выражение $3x4 − 9= 3x4 − 32$ имеет такой же знак, как и $4 x − 2$ , а выражение $tgx tgx 0 2 − 1= 2 − 2$ имеет такой же знак, как и $tgx− 0= tgx$ . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

[ 4 x − 2= 0 tgx= 0

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$±√42;πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76752Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 sinx x2 (x − 2)(2 − 1)+ (2 − 4)sinx= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что знак выражения $x2− 2$ совпадает со знаком выражения $2x2 − 22$ по методу рационализации. Также знак выражения $sinx$ совпадает со знаком выражения $sinx 0 2 − 2 .$ Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

[ 2 x − 2= 0 sinx =0

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Ответ:

$±√2; πn, n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74588Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

3b> 9a +c> 0

Докажите, что

b2 > 4ac

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на неравенство, которое нужно доказать. Где такое выражение чаще всего встречается? Попробуйте подумать в этом направлении.

Подсказка 2

Верно, это дискриминант квадратного трёхчлена с нужными коэффициентами. Тогда давайте рассмотрим трёхчлен ax^2 + bx +c. Как теперь можно переформулировать нашу задачу?

Подсказка 3

Ага, когда наше неравенство будет выполняться, многочлен будет иметь два корня. Тогда нужно просто проанализировать знаки трёхчлена в хороших точках. Какие это могут быть точки, учитывая неравенства, данные по условию?

Подсказка 4

Верно, попробуйте подставить точки 3 и -3 и посмотреть на знаки трёхчлена. Но не забудьте ещё проверить a=0, потому что в этом случае у вас не квадратный трёхчлен. В таком решении это важно.

Показать доказательство

Первое решение.

9a +c 2 (9a+ c)2 3b> 9a+ c> 0 ⇐⇒ b> -3--->0 =⇒ b > ---9---

Чтобы доказать $2 b > 4ac,$ хочется доказать $(9a+c)2 --9--≥ 4ac.$ Преобразуем это неравенство:

81a2 +18ac+c2 ≥ 36ac

2 2 81a − 18ac+c ≥ 0

(9a− c)2 ≥0

Верно, поэтому было верным и

2 b2 > (9a-+c)-≥ 4ac 9

Значит, $b2 >4ac.$

Второе решение.

Нам нужно доказать, что $b2− 4ac> 0,$ а это очень напоминает дискриминант, поэтому давайте придумаем квадратный трёхчлен с таким дискриминантом и докажем, что он имеет 2 корня. Очевидно, подходит $f(x)= ax2+bx+ c.$ Всегда ли мы можем рассматривать его дискриминант? Нет, в случае $a =0$ никакого дискриминанта нет, поэтому его надо рассмотреть отдельно — благо, тут всё просто и понятно, $3b> 0 =⇒ b2 > 0,$ а $4ac= 0,$ значит, $b2 >0 =4ac.$

Теперь рассмотрим случай, когда $a ⁄=0.$ В неравенстве из условия было $3b,$ поэтому давайте попробуем подставить 3 и -3.

f(3)= 9a+ 3b+c> 0, так как 3b> 0 и 9a+c >0

f(−3)= 9a − 3b+ c< 0, так как 3b>9a+ c

То есть квадратный трёхчлен принимает положительные и отрицательные значения, а значит, он имеет 2 корня! И его $D = b2 − 4ac> 0.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#109921Максимум баллов за задание: 7

Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что дробная часть числа $√4n2+-n$ меньше $1. 4$ (Дробная часть числа равна разности самого числа и его целой части. Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.)

Источники: Звезда - 2020, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень понятно, как работать с дробной частью, хорошо бы найти целую часть числа.

Подсказка 2

У нас значение под корнем, попробуем найти два последовательных числа, квадраты которых "зажимают" наше число с двух сторон.

Подсказка 3

Ура, у нас есть целая часть, тогда сможем выразить дробную часть. Надо оценить её сверху.

Показать доказательство

Легко проверить, что

∘ ------ 2n < 4n2+n < 2n +1.

Поэтому $2n$ — целая часть данного числа, а $√4n2+-n− 2n$ — его дробная часть. Оценим сверху эту разность:

∘ --2--- -----n----- --n--- 1 4n + n− 2n = √4n2+-n+ 2n < 2n+ 2n = 4.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания