Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Тригонометрия на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77696

Решите неравенство

∘ ---- ∘-------2-- cosx− siny− sin y− sinx ≥1

Источники: ШВБ - 2019, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену u = cos(x) и v = sin(y). К какому неравенству придём и как будем его решать?

Подсказка 2

u - sqrt(v) >= sqrt(u^2 + v - 1) + 1 >= 0. Каким неравенством связаны u и v? Как будем решать предпоследнее неравенство?

Подсказка 3

Возведем обе части в квадрат! Теперь-то мы знаем, как применить связь между u и v.

Подсказка 4

Получается, что u*sqrt(v) = 0 и u^2 + v - 1 = 0. Подумаем, какие решения имеет данная система? Мы на финишной прямой!

Показать ответ и решение

После замены $u =cosx,v =sin y$ получаем

√- ∘ -2------ u− v− u +v − 1 ≥1

√ - ∘-2------ u− v ≥ u + v− 1+ 1≥ 0

Возведём в квадрат неравенство, т.к. обе части больше $0$ :

u2− 2u√v+ v ≥ u2+ v− 1 +2∘u2-+v−-1+ 1

−u√v ≥∘u2-+-v− 1

Так как $√- u− v ≥0,$ то левая часть неположительна: $√- − u v ≤ −v ≤0,$ но отсюда

∘ -------- 0≥ −u√v ≥ u2+ v− 1 ≥0

получаем

√- u v = 0,u2+v − 1 =0

Тогда решения будут: $u= 1,v = 0.$

Сделаем обратную замену:

{ { cosx= 1 ⇒ x= 2πn,n ∈ℤ siny = 0 y =πk,k∈ ℤ

Ответ:

$(2πn;πk),n,k∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70301

Решите уравнение

4 2019 2018 sin (2025x)+ cos (2016x)⋅cos (2025x) =1

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

ОТТ: $sin2(2025x)+cos2(2025x)= 1$

Чтобы из ОТТ получить исходное, нужно домножить первое слагаемое на $2 sin (2025x)$ , а второе на $2016 2019 cos (2025x)⋅cos (2016x)$ . Заметим, что при этом левая часть точно не увеличилась. Следовательно, чтобы сохранилось равенство, возможны только следующие случаи:

Либо одно из слагаемых 0 и тогда не важно, на что его домножаем, но важно, чтобы другое слагаемое было равно 1 и домножилось на 1. Либо домножили оба слагаемых на 1.

$2 2 1)1+ 0= 1.Заметим, чтоsin(2025x)= 1 при cos (2025x)=0.$ Поэтому имеем: