Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Многочлены на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87532

Коэффициенты многочлена степени $n> 2024$

n n−1 Pn(x)= anx + an−1x + ...+ a1x +a0,

взятые в том же порядке (начиная со старшей степени), образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$ $(q ⁄= 0,±1 ).$ Выясните, может ли $Pn(x)$ иметь только один корень.

Если может, укажите минимальную степень (из диапазона выше), при которой это возможно, и выразите корень через $a 0$ и $q$ . Если нет, укажите минимально возможное количество корней при любом $n> 2024.$

Источники: Надежда энергетики - 2024, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно использовать то, что коэффициенты образуют геометрическую прогрессию? Чем является каждое слагаемое в многочлене?

Подсказка 2

Одночлены образуют геометрическую прогрессию тоже! Нетрудно заметить, что знаменатель этой прогрессии равен q/x. Тогда чему равна сумма одночленов?

Подсказка 3

По формуле можно найти сумму. Остаётся решить простое уравнение. Не забудьте учесть, что знаменатель не равен 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что $a ⁄= 0 n$ и $a ⁄=0, 0$ следовательно $a = a qn ⁄= 0. 0 n$ Значит, $x= 0$ не является корнем.

Поймём, что одночлены (начиная со старшего) в многочлене образуют геометрическую прогрессию с знаменателем $q x.$ Значит, многочлен может быть представлен как сумма первых $n+ 1$ члена данной прогрессии. Заметим, что если $x= q,$ то

n n−1 n n n Pn(q)= anq +an−1q + ...+a1q+ a0 = an = a◟nq-+anq◝+◜-...+-anq◞ n+1раз

n n Pn(q)= anq (n +1)⁄= 0, т.к. a ⁄= 0,q ⁄=0

Значит, $x= q$ не корень. Поэтому дальше будем считать $x ⁄=q$ и запишем следующее

anxn((q)n+1− 1) Pn(x)= anxn +an−1xn−1+ ...+ a1x+ a0 =------xq-------- x − 1

Выразим корни с учётом $x⁄= 0$ и $an ⁄= 0$

anxn((q)n+1 − 1) -----qx--------=0 x − 1

( ) ( q n+1− 1= 0 x

xn+1 = qn+1

Если $n+ 1$ нечётно, тогда $x =q,$ чего быть не может, а если $n+ 1$ чётно, тогда $x= ±q,$ а в силу ограничений получаем $x= −q.$ Это и будет единственным корнем.

Теперь найдём минимальное $n.$ Из условий $n > 2024$ и $n+ 1$ чётно получаем, что $n= 2025$ подходит.

Ответ:

может при $n = 2025 min$ , корень равен $− q$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71016

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96520

Рассматривается многочлен

2 4 3 ( 2) 2 2 ax + 2abx + 2ac+ b x +2bcx +c ,

в котором коэффициент $c$ и сумма $a+ b+ c−$ нечётные целые числа. Могут ли корни такого многочлена быть целыми числами?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на коэффициенты нашего многочлена. Имеются квадраты, а также удвоенные произведения. А в каком еще разложении такие коэффициенты присутствуют?)

Подсказка 2

Наш многочлен — это полный квадрат суммы трёх чисел! Получается, теперь мы рассматриваем корни квадратного трёхчлена ;)

Подсказка 3

Осталось проанализировать чётность, использую теорему Виета!

Показать ответ и решение

Путем несложных преобразований (например, выделяя полный квадрат) многочлен приводится к виду

( 2 )2 ax + bx+c .

Таким образом, задача сведена к аналогичной для корней квадратного трёхчлена.

Пусть $x 1$ и $x 2$ — целые корни уравнения. Тогда $c =ax x 1 2$ , и оно нечётное. Отсюда следует, что каждое из чисел $a,x 1$ и $x 2$ — нечётное. Тогда поскольку сумма двух нечётных чисел $a+ c$ — чётная, а сумма $a+ b+c$ нечётная, то число $b$ — тоже нечётное. Но с другой стороны, число $b$ должно быть чётным, так как $b= −a (x1+ x2),$ а сумма двух нечётных чисел $x1+ x2$ — чётная. Противоречие.