Тема 2. Задачи на векторы

2.03 Задачи №2 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#74687Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(6;−1),$ $⃗b(−5;−2)$ и $⃗c(− 3;5).$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a −b+ ⃗c.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a − ⃗b +⃗c :$

⃗r = {6− (−5)+ (−3);− 1− (− 2)+5} = {8;6}.

Так как длина вектора $⃗r(x;y)$ равна $|⃗r|= ∘x2-+-y2,$ то

|⃗r|= ∘82-+-62 = 10.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#74688Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(2;−5),$ $⃗b(6;3)$ и $⃗c(4;7).$ Найдите длину вектора $⃗a− ⃗b− ⃗c.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a − ⃗b − ⃗c :$

⃗r ={2 − 6 − 4;−5 − 3 − 7} = {−8;−15}.

Так как длина вектора $⃗r(x;y)$ равна $|⃗r|= ∘x2-+-y2,$ то

|⃗r|= ∘ (−8)2+(−-15)2 = 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#99572Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b.$

$012561245⃗a⃗bxy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Значит,

⃗a ⋅⃗b= 5⋅(−3)+ (− 2)⋅4= −15− 8= − 23.

Ответ: -23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#99573Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b.$

$012451245⃗a⃗bxy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Значит,

⃗a ⋅⃗b= 2⋅(−4)+ 3⋅3= −8 +9 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#72004Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 1;3),$ $⃗b(4;1)$ и $⃗c(2;c0).$ Найдите $c0,$ если $( ) ⃗a+ ⃗b ⋅⃗c= 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора

⃗ ⃗r = ⃗a +b ={− 1+ 4;3 +1} = {3;4}.

Заметим, что скалярное произведение векторов $⃗d(x1;y1)$ и $⃗e (x2;y2)$ равно

⃗ d⋅⃗e= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗r⋅⃗c= 0 3⋅2 +4 ⋅c0 = 0 6+ 4c0 = 0 c0 = − 1,5

Ответ: -1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74691Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(2;−3),$ $⃗b(2;−1)$ и $⃗c(c0;3).$ Найдите $c0,$ если $⃗a⋅(⃗b+ ⃗c)= 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора

⃗r = ⃗b+ ⃗c= {2+ c ;− 1+ 3}= {2+ c;2}. 0 0

Заметим, что скалярное произведение векторов $⃗d(x1;y1)$ и $⃗e (x2;y2)$ равно

⃗ d⋅⃗e= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗a⋅⃗r =0 2⋅(2 +c0)+ (− 3)⋅2= 0 4 +2c0− 6= 0 2c0 = 2 c0 = 1

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#73605Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗ ⃗a +b − ⃗c.$

$⃗ 110xyb⃗a⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала. Найдем координаты векторов, изображенных на плоскости:

$pict$

Следовательно,

⃗r = ⃗a+ ⃗b− ⃗c= {−4 + 9− (− 3);−5 +0 − 10} ={8;−15}.

Следовательно,

∘---------- |⃗r|= 82+ (−15)2 = 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#74692Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗ ⃗a −b +⃗c.$

$⃗ 110xyb⃗a⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

$pict$

Следовательно,

⃗r = ⃗a− ⃗b+ ⃗c= {−10− 8+ (−6);4− 2+ 5} = {−24;7}.

Следовательно,

∘---------- |⃗r|= (−24)2+ 72 = 25.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#72007Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 2;4)$ и $⃗b(2;− 1).$ Известно, что векторы $⃗c(xc;yc)$ и $⃗b$ сонаправленные, a $|⃗c|= |⃗a|.$ Найдите $xc+yc.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Так как $|⃗c|=|⃗a|,$ то

2 2 2 2 xc + yc = (− 2) +4 = 20.

Так как $⃗c$ и $⃗b$ сонаправленные, то

xc yc- 2 = −1 ⇔ xc = −2yc.

Подставим в первое равенство:

4y2c + y2c = 20 ⇔ yc = ±2.

Так как $⃗c$ и $⃗ b$ сонаправленные, то $yc = −2.$ Тогда $xc = 4.$ Следовательно, $xc+ yc = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#74693Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(4;−6)$ и $⃗b(− 2;3).$ Известно, что $|⃗c|= |⃗a|,$ а векторы $⃗c(xc;yc)$ и $⃗ b$ противоположно направленные. Найдите $xc+ yc.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Так как $|⃗c|=|⃗a|,$ то

x2+ y2= 42+ (− 6)2 = 16+ 36 =52. c c

Так как $⃗c$ и $⃗b$ противоположно направленные, то

xc-= yc; −2 3 xc = − 2 yc. 3

Тогда получаем

4 2 2 9yc + yc = 52 2 2 4yc + 9yc = 52⋅9 yc2= 4⋅9 y = ±6 c

Так как $⃗c$ и $⃗b$ противоположно направленные, то $yc = − 6.$ Тогда $xc = 4.$ Следовательно, $xc+ yc = − 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#74694Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $⃗ ⃗a⋅b.$

$⃗ 110xyb⃗a$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

⃗a= {− 7− (− 1);5− 2}= {−6;3}; ⃗b= {−5 − 5;−2 − (− 4)}= {− 10;2}.

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗a⋅⃗b= −6 ⋅(−10)+ 3⋅2 =66.

Ответ: 66

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#74695Максимум баллов за задание: 1

$⃗ 110xy⃗ab$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

⃗a= {−1 − 6;3− 5}= {−7;−2}; ⃗b= {4− (−5);−3− 1}= {9;−4}.

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗a⋅⃗b= − 7⋅9+ (−2)⋅(− 4)= −55.

Ответ: -55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#74696Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(3;7)$ и $⃗b(8;9).$ Найдите длину вектора $1,2⃗a− 0,7⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Координаты вектора $⃗r = 1,2⃗a − 0,7⃗b$ равны

⃗r = {1,2⋅3− 0,7 ⋅8;1,2⋅7− 0,7⋅9} ={− 2;2,1}.

Так как длина вектора $⃗z(x;y)$ равна $------ |⃗z|=∘ x2+ y2,$ то

∘ ---2-----2 |⃗r|= (− 2) +2,1 = 2,9.

Ответ: 2,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#74697Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(13;10)$ и $⃗b(3;4).$ Найдите длину вектора $0,8⃗a − 2,3⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Координаты вектора $⃗r = 0,8⃗a − 2,3⃗b$ равны

⃗r = {0,8 ⋅13 − 2,3⋅3;0,8⋅10− 2,3 ⋅4} = {3,5;−1,2}.

Так как длина вектора $⃗z(x;y)$ равна $------ |⃗z|=∘ x2+ y2,$ то

∘ --2-------2 |⃗r|= 3,5 +(−1,2) =3,7.

Ответ: 3,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#72008Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите координаты вектора $⃗c,$ если $⃗c= 0,5⃗b− ⃗a.$ В ответ запишите сумму координат вектора $⃗c.$

$110⃗bxy⃗a$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

⃗a = {−5− 1;6− 2}= {−6;4}; ⃗b= {2− 5;4 − (− 4)} ={− 3;8}.

Тогда

0,5⃗b= {−1,5;4}.

Следовательно,

⃗c = {− 1,5− (−6);4− 4}= {4,5;0}.

Следовательно, сумма координат этого вектора равна 4,5.

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#74698Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите координаты вектора $⃗c(xc; yc),$ если $⃗c =⃗a − 1,5⃗b.$ В ответ запишите произведение $xc⋅yc.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

⃗a= {5− (− 7);5− (−1)}= {12;6}, ⃗ b= {−6 − 2;3− (−4)}= {−8;7}.

Тогда имеем:

⃗c =⃗a− 1,5⃗b= {12− 1,5⋅(−8);6− 1,5⋅7} ={24;−4,5}.

Следовательно, $xc = 24,$ $yc = −4,5.$ Тогда

xc⋅yc = 24⋅(−4,5)= −108.

Ответ: -108

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#72005Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(4;ya)$ и $⃗b(xb;0),$ косинус угла между которыми равен $√2-. 5$ Найдите $ya.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

∘ ------ ∘-2---- 2 4xb+ 0ya = 42+ ya2⋅ xb +02⋅√5- ∘ ------ 4xb = 16+ ya2⋅|xb|⋅√2- 5 (2√5)2 = 16 +y2 a ya = ±2

Следовательно, ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#74699Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(xa;− 2)$ и $⃗b (0;yb),$ косинус угла между которыми равен $( √--) − 0,2 .$ Найдите $xa.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗ b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

∘ -2-----2-∘ -2---2 xa⋅0+ (−2)⋅yb = xa+ (− 2) ⋅ 0 + yb ⋅cosα 4y2= (x2+ 4)⋅y2⋅(−∘0,2)2 b a ( b) 4= x2a+ 4 ⋅0,2 x = ±4 a

Следовательно, ответ $− 4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#74700Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $(⃗ ) ⃗a ⋅ b− ⃗c .$

$110xy⃗a⃗b⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

$pict$

Тогда имеем:

⃗r =⃗b− ⃗c = {− 7− (−9);− 3− 0}= {2;− 3}.

Следовательно,

⃗a ⋅⃗r = 8⋅2+ (−5)⋅(− 3)= 31.

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#74701Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $( ⃗) ⃗a− b ⋅⃗c.$