.13 Теория многочленов.

Что вообще было бы, если бы признак Эйзенштейна был бы критерием? Тогда в обратную сторону он звучал бы так:

(Псевдо)критерий Эйзенштейна. Пусть многочлен

- многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Тогда - неприводим над тогда и только тогда, когда существует такое простое число , что все его коэффициенты, начиная с и до самого последнего делятся на , но при этом свободный член не делится на .

Так вот в обратную сторону этот признак уже не работает.

Рассмотрим, например, многочлен

Он неприводим над (ибо, будь он приводим над , то, коль скоро степень его равна 3, он бы имел в таком случае корень в . Однако, он в (и даже в !) корней не имеет).

Однако, в обратную сторону здесь признак Эйзенштейна не работает. Не существует такого простого , делящего все коэффициенты, кроме старшего, но при этом чтобы не делило свободный коэффициент.

Действительно, единственное простое , делящее все коэффициенты, кроме старшего - это . Однако свободный коэффициент делится и на . Поэтому такого , которое делило бы все коэффициенты кроме старшего, но квадрат которого не делил бы свободный член, для нашего не найдется. Однако ж он все еще неприводим над .