.13 Теория многочленов.

Во-первых, как всегда при делении одного многочлена на другой, степень остатка должна быть строго меньше степени делителя. Но многочлен мы делим на и ясно, что .

Таким образом, степень остатка должна быть . То есть, степень остатка будет либо 0, либо . В любом случае можно сказать, что остаток получается всегда каким-то константным многочленом - либо нулевым, либо ненулевым, но это в любом случае константа.

Итак, разделим на и запишем результат в общем виде:

Но остаток, раз он есть константа, как мы сказали, ни от какого зависеть не должен. То есть можно написать, что

Тогда заметим, что если подставить в левую часть, то есть в число , то получится, с одной стороны, , но, поскольку , то при подстановке в числа , мы получим как раз значение правой части от , то есть, короче говоря:

Но , то есть первый сомножитель справа зануляется, и мы имеем

То есть, мы как раз нашли остаток. Он равен значению многочлена при . Иначе говоря, .