.13 Теория многочленов.

Допустим, что при делении на нашлись и такие, что

А также, кроме того, нашлись еще другие и такие, что

Но тогда можно приравнять правые части:

Переносим остатки в одну сторону, а неполные частные в другую, и выносим общий множитель за скобки:

А теперь, раз мы имеем равенство многочленов, то, конечно, равна и их степени:

Далее, по свойству степеней, то есть мы имеем

Но вспомним два условия:

Но тогда, очевидно, и

Однако, у нас должно выполняться равенство

Следовательно, чтобы всё таки , необходимо, чтобы было равно , потому что иначе в правой части степень получится не меньше, чем в левой части.

Следовательно, , следовательно, многочлен - это нулевой многочлен. Следовательно, .

Далее, раз в левой части

, то, с чем бы мы его ни складывали, все равно получится . Следовательно, , следовательно, многочлен - это нулевой многочлен. Следовательно, .

Тем самым, мы доказали, что неполное частное и остаток определены единственным образом.