.13 Теория многочленов.

Поскольку над неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом, то в конце концов в нашем разложении должны участвовать только многочлены первой степени вида , где - корень нашего многочлена, , а также многочлены второй степени вида , где .

а)

Попробуем сначала разложить над , а потом перемножить между собой скобки первой степени, отвечающие сопряженным комплексным корням:

У нас получились две скобки второй степени - чтобы доразложить их до предела над , надо просто найти их корни по стандартной формуле через дискриминант:

Тогда получаем итоговое разложение:

Только вот надо вычислить, чему равны эти корни

: Вычислим для начала их отдельно:

Тогда

Следовательно, мы получаем итоговое разложение нашего многочлена над :

Теперь, перемножая скобки, отвечающие комплексно сопряженным корням (то есть первую на четвертую и вторую на третью), получаем разложение над :

б)

Воспользуемся тем, что над разложение этого многочлена такое:

Далее просто перемножаем скобки, отвечающие комплексно-сопряженным корням (то есть первую на четвертую и вторую на третью):