.13 Теория многочленов.

a) Поскольку все должны быть корнями нашего многочлена, то он должен делиться на все одночлены

без остатка - так говорит теорема Безу. Но, поскольку эти одночлены взаимно просты, то наш многочлен должен делиться и на их произведение.

Далее, поскольку корень должен быть кратности 2, то он по теореме Безу должен дважды делиться на одночлен , поэтому эта скобка должна идти во второй степени. Значит, наш многочлен должен делиться на

А раз нас просят многочлен наименьшей степени, то он должен не просто делиться на , но быть равным ему, быть может, умноженному на какую-то константу.

Ответ:

b) Аналогичные рассуждения показывают, что искомый многочлен должен делиться на многочлен

без остатка.

Однако взять его в качестве ответа уже не получится, потому что нас просят многочлен с коэффициентами из , а в последней скобки коэффициенты явно не из . Значит, чтобы все коэффициенты были из , надо многочлен

еще умножить на какой-то другой многочлен, чтобы нивелировать то, что в последней скобке стоит комплексное число.

Поскольку мы ищем многочлен минимальной степени, то домножить хотелось бы на многочлен как можно меньшей степени.

Очевидно, что достаточно домножить на и тогда получится:

Это и будет ответом.