.13 Теория многочленов.

a) Ясно, что все коэффициенты, кроме старшего, у этого многочлена делятся на простое число , однако свободный член не делится на . Следовательно, по признаку Эйзенштейна мы получаем, что многочлен неприводим над .

b) Ясно, что все коэффициенты, кроме старшего, у этого многочлена делятся на простое число , однако свободный член не делится на . Следовательно, по признаку Эйзенштейна мы получаем, что многочлен неприводим над .

c) Заметим, что

Далее, сделаем замену . То есть Тогда получим

Далее, заметим, что все биномиальные коэффициенты вида

делятся на . Действительно, это так, потому что для любого выполнено

А далее заметим, что, поскольку - целое число (ну а как еще, это же биномиальный коэффициент!), то и

должно быть целым. Однако - простое, а , следовательно, не может делить . Следовательно, будет делить остальное произведение

Следовательно,

Но это означает, что

Таким образом, все коэффициенты многочлена

кроме старшего делятся на , а свободный коэффициент равен , а, значит, не делится на . Тогда по признаку Эйзенштейна многочлен

неприводим. Но тогда неприводим и исходный многочлен

Потому что если бы он был приводим, то мы бы сделали в нем указанную замену и уже многочлен

был бы приводим. А мы доказали, что это не так.