.13 Теория многочленов.

Давайте сразу предполагать, что - ненулевой и неконстантный многочлен, потому что у такого многочлена производная равна 0, и бессмысленно говорить о делимости на свою производную, потому что на ноль делить нельзя.

1. Пусть . Тогда НОД(). Тогда имеет те же корни, что и , но кратности 1. Однако если , то . Следовательно, , и, значит, имеет вид . То есть мы имеем при делении с остатком:

Ну а теперь, давайте доказывать индукцией по степени многочлена . База индукции - это многочлены степени 1, и они всегда имеют требуемый в условии вид, и всегда делятся без остатка на свою производную.

Шаг индукции. Пусть всё уже известно для многочленов степени . Доказываем в случае . Мы уже имеем разложение

Но , следовательно, для можно применить предположение индукции, ведь без остатка делится на , потому что если продифференцировать равенство

То мы получим

Следовательно,

То есть мы получили, что обязательно .
(Кстати, почему никогда не может так получиться, что ???)

Таким образом, поскольку , то к , поскольку его степень меньше, чем , применимо предположение индукции, и обязательно имеет вид

Таким образом, мы получаем, что имеет вид

Осталось лишь понять, почему . Действительно, если они не равны, то у многочлена есть еще какой-то другой корень . Но это противоречит тому, что многочлен имеет те же корни, что и , но все кратности 1. У нас ведь имеет вид . То есть это в частности означает, что имеет только один корень (без учета кратности).

Следовательно, обязан совпадать с и мы получаем, что имеет вид

2. Если же мы уже знаем, что имеет вид

То и легко видеть, что .