Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Теория чисел на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87530

Запись числа $A$ заканчивается цифрой 3. Если же последнюю цифру переставить в начало, то получится число, на 27 больше $A$ . Найдите $A$ , если известно, что оно делится на 99, или докажите, что такого числа не существует.

Источники: Надежда энергетики - 2024, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в записи числа A участвуют k+1 цифр. Тогда можно составить уравнение.

Подсказка 2

Пусть x это k значное число. Тогда, изначально A = 10x + 3. Измененное число тоже можно записать через x. Тогда можно получить уравнение на x.

Подсказка 3

Из уравнения мы получили решение. Осталось только проверить, что A делится на 99 = 9*11. Вспоминаем признак делимости на 11, рассматриваем разные случаи для k и добиваем задачу.

Показать ответ и решение

Пусть $A$ имеет в своей записи $k+ 1$ цифру, тогда

A= x⋅10+ 3

где $x$ — это какое-то $k$ -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

B = 3⋅10k+ x

По условию $B =A + 27,$ получаем равенство

10x+ 3+ 27 =3 ⋅10k+ x

9x= 3⋅10k− 30 =30⋅(10k−1− 1)= 30 ⋅ 9◟9.◝..◜9 ◞ k−1цифр

x =30⋅ 1◟1.◝◜..1◞ = 3◟3..◝.◜30◞ k−1цифр k цифр

Следовательно, можем понять как выглядит $A$

A= 3◟3..◝◜.3◞ 03 k−1цифр

По условию $A$ должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа $A$ должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда $k − 1$ чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда $k− 1$ нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 $A$ делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71018

Какое число больше: $20232023$ или $20222024?$

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть два способа определить какое из двух чисел больше. Можно вычесть одно из второго и посмотреть на знак, а можно найти отношение первого ко второму и посмотреть больше оно единицы или меньше. Очевидно, что вычитание в этой задаче нам ничего не даст, поэтому давайте найдем отношение.

Подсказка 2

Подумайте, как стоит расписать полученное отношение, чтобы воспользоваться тем, что для всех натуральных k выполняется неравенство 2 <= (1 + 1/k)^k < 3

Показать ответ и решение

Рассмотрим отношение чисел

20232023 2023 ( 2023)2022 2023 ( 1 )2022 20222024 = 20222-⋅ 2022 = 20222 ⋅ 1 +2022

Применим известное неравенство:

( ) 2 < 1+ 1 k < 3 ∀k ∈ℕ, k> 1 k

Тогда

2023 ( 1 )2022 2023⋅3 20222 ⋅ 1+ 2022 < 2022-⋅2022 < 1

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Известное неравенство принималось на олимпиаде без док-ва, но любые корректные попытки его обоснования поощрялись. Покажем, как его можно доказать с помощью формулы бинома Ньютона:

( ) 1 +-1 k = 1+ n-⋅ 1+ n(n−-1)⋅ 1-+ n(n−-1)(n−-2)-⋅ 1-+ ...+ n!⋅ 1-= k 1! n 2! n2 3! n3 n! nn

1- ( 1) -1 ( 1) ( 2) 1-( 1) ( n−-1) = 2+ 2! ⋅ 1− n +3! ⋅ 1− n 1− n + ...+ n! 1− n ⋅...⋅ 1− n

Видно, что все скобки вида $( k) 1+ n$ меньше 1, но при этом больше 0. Значит, если заменим их на 1, то выражение от этого увеличиться.

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2+ 1-⋅ 1− 1 + 1-⋅ 1− 1 1 −-2 + ...+ 1- 1− 1 ⋅...⋅ 1− n−-1 < 2! n 3! n n n! n n

<2 + 1--+ --1--+ ...+ ---1----< 2+ 1 +-1 +...+--1- 1⋅2 1⋅2⋅3 1⋅2⋅...⋅n 2 22 2n−1

Последнее неравенство верно, ведь мы просто заменили в числителях все числа, которые больше 2, на 2, тем самым уменьшили знаменатели, следовательно, увеличили значение выражения.

1 -1 --1- 1 -1 --1- -1 1 -1-- 2+ 2 + 22 + ...+ 2n−1 < 2+ 2 +22 +...+ 2n−1 + 2n +...=2 +2 ⋅1− 12 = 3

В конце мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ:

$20222024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76461

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.

Подсказка 2

Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.

Подсказка 3

Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96523

Зная, что $2021 =43⋅47$ , решите в целых числах уравнение с двумя неизвестными

40(x+ y)+xy =421.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем преобразовать левую часть уравнения. У нас имеется xy, 40x и 40y, тогда подумаем, какие скобки нужно раскрыть, чтобы появились эти три слагаемых.

Подсказка 2

Обратите внимание на то, чем отличается правая часть от числа, данного в условии.

Подсказка 3

Левая часть уравнения равна (40+x)(40+y) - 1600. Тогда теперь нам нужно решать уравнение на разложение числа 2021 ;)

Подсказка 4

Разберите случаи, когда среди этих скобок есть равная единице, равная -1 и случай, когда таких нет!

Показать ответ и решение

Переменные входят в уравнение симметрично, поэтому если есть решение $(x,y)$ , то $(y,x)$ тоже является решением. Далее,

2 (40+ x)(40+y)= 40 +40(x+ y)+ xy = 1600 +421= 2021.

Введём переменные $a= 40+x,b= 40+y ∈ℤ$ и рассмотрим уравнение

ab= 2021= 43 ⋅47.

Если есть решение $(a,b)$ , то есть и решение $(b,a)$ .

1. Пусть один из множителей равен $1,$ например, $a= 40+x =1.$ Тогда $b= 40+ y = 2021,$ и есть решения

(x,y)= (−39;1981),(1981;−39).

2. Пусть один из множителей равен $− 1,$ например, $a= 40+x =− 1$ . Тогда $b=40+ y = −2021,$ и есть решения

(x,y)= (− 41;−2061),(−2061;− 41).

3. Пусть нет множителей $± 1.$ Тогда $(a,b)=(43;47),(−43;− 47),(47;43),(−47;−43)$ откуда получаем решения

(x,y)= (3;7),(−83;− 87),(7;3),(−87;−83).

Ответ:

8 пар: $(3;7),(7;3),(−39;1981),(1981;− 39),(−41;−2061),(−2061;−41),(−83;−87),(−87,− 83).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79621

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.

Подсказка 2

Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?

Подсказка 3

2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.

Подсказка 4

Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76735

Решите уравнение с тремя неизвестными

Y Z X + Y = XY Z

в натуральных числах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что таковое равенство может редко когда достигаться, так как слева что-то почти всегда большее чем справа(степень растет быстрее произведения). Значит, нужно сделать какую-то понятную оценку, а все случаи, которые под нее не подходят, перебрать. Мы хотим какими-то неравенствами получить XYZ, как оценку снизу. Что мы знаем из неравенств? Как это неравенство нам поможет в оценке XYZ(желательно несколько симметрично относительно X и Z, так как очень похожее структурно)?

Подсказка 2

Да, хочется применить неравенство о средних для двух чисел, но как? Нам нужно как-то X^Y перейти к произведению XY*(что-то, не обязательно константное). Аналогично, со вторым слагаемым. Если X >= 2, то X^k >= 2^k, k - натуральное. При этом, 2^k >= 2k(доказывается по индукции), или 2^(k - 1) >= k. Как с этим знанием найти эту оценку?

Подсказка 3

Верно, можно сделать оценку, что X^Y >= X^2 * X^(Y - 2) >= X^2 * 2^(Y - 2) >= X^2*Y/2. При этом, если бы X >= 3, то мы могли бы сказать, что X^(Y - 1) >= 3^(Y - 1) > 2 ^ (Y - 1) > Z^2/2(при Z > 4, остальные Z перебираются). Значит, можно это неравенство применить на второе слагаемое в левой части уравнения.

Подсказка 4

Тогда, Y^Z = Y^(Z - 1) * Y >= 3^(Z - 1) * Y >= Z^2*Y/2. Почему это хорошие оценки? Потому что у нас получается идеальные слагаемые для оценки их как неравенства о средних(Z^2*Y/2 и X^2*Y/2), так как степень каждой переменной будет равна 2/2 = 1, а коэффициент будет равен 1(из за 1/2 перед каждым слагаемым). Значит, при Х >= 2, Y >= 3 у нас есть строгая оценка, что левая часть больше правой. Отсюда, осталось грамотно перебрать меньшие, но это уже задача вполне рабочая.

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим случаи. При $Y = 1$ получаем уравнение:

X +1 =XZ

откуда $X (Z − 1)= 1$ , то есть $X =1$ , $Z = 2$ .

2) При $Y = 2$ получаем уравнение:

2 Z 2 Z 2 X + 2 = 2XZ ⇐⇒ (X − Z) +2 − Z =0

При $Z =1$ решений нет. При подстановке $Z = 2,3,4$ получаем решения $(2;2;2)$ , $(2;2;3)$ , $(4;2;3)$ , $(4;2;4)$ . При $Z > 4$ будет выполнено, что $2Z >Z2$ и тогда решений не будет.