Тема 15. Решение неравенств

15.09 Иррациональные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38225

Решите неравенство: $√2-−-t− √t-+-2 > 0,5$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: ${ { 2− t ≥ 0; t ≤ 2; ⇔ ⇔ t ∈ [− 2;2]. t+ 2 ≥ 0. t ≥ − 2.$

Решим неравенство, перенеся вычитаемый корень в правую часть, чтобы в обеих частях неравенства были бы неотрицательные выражения, что необходимо для возведения обеих частей в квадрат:

$pict$

Так как $5 25 √31 √36 3 8 < 8-< -8--< -8--= 4$ , получим, что решением этого неравенства будет $( √31-) t ∈ − ∞; −---- 8$ . Учтём ОДЗ $t ∈ [− 2;2]$ , тогда итоговое решение: $[ √--) -31- t ∈ − 2;− 8$ .

Ответ:

$[ ) √31 − 2;−-8--$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38226

Решите неравенство

√----- √----- x + 8− x − 4 ≥2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x+ 8 ≥0; ⇔ x∈ [4;+∞ ) x− 4 ≥0.

Заметим, что $√x-+-8-$ всегда больше, чем $√x−-4,$ поскольку $x +8 >x − 4$ при любом $x,$ а функция $√x$ — монотонно возрастающая. Тогда левая часть неравенства является положительной, и обе части неравенства можно возвести в квадрат:

x+ 8+ x− 4− 2∘ (x-+-8)(x−-4)≥ 4 ∘ ----------- −2∘ (x+-8)(x−-4)≥ −2x (x+ 8)(x− 4)≤ x

Таким образом, полученное уравнение равносильно системе

$pict$

Получается, что решением этого неравенства будет $x ∈[0;8].$ С учётом ОДЗ получим $x∈ [4;8].$

Ответ:

$[4;8]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38229

Решите неравенство

√ ----- 3x+ 4≤ x

Показать ответ и решение

$pict$

По методу интервалов:

$PICT$

Тогда ответом будет: $x∈ [4;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈[4; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38230

Решите неравенство: $√ ----- x 4+ x ≤ 2+ 4-$

Показать ответ и решение

$pict$

Тогда ответом будет: $x ∈ [− 4; + ∞ ).$

Ответ:

$x ∈ [− 4; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38231

Решите неравенство

∘-2------- x +2x +3 < x+ 1

Показать ответ и решение

$pict$

Система содержит противоречие, а следовательно решений не имеет. Тогда ответом будет: $x∈ ∅.$

Ответ:

$x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38232

Решите неравенство: $x − 3 ≥ √9-−-x2$

Показать ответ и решение

$pict$

Применим метод интервалов для неравенства:

$PICT$

Получим:

$pict$

Тогда ответом будет: $x = 3.$

Ответ:

$x = 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51643

Решите неравенство

√----- 0 <x + x+ 2

Показать ответ и решение

Решите неравенство: $√----- 0< x+ x + 2.$

ОДЗ неравенства: $x+ 2 ≥0 ⇔ x ≥− 2.$ Перенесём $x$ в левую часть:

−x < √x+-2.

Далее избавимся от знака корня. Для этого обе части неравенства надо возвести в квадрат при условии, что левая часть неравенства неотрицательна. Если же $− x < 0,$ то неравенство верно на всём ОДЗ. Таким образом, на ОДЗ получим следующую совокупность:

⌊ ⌊ ⌊ |−{ x< 0 |x{ >0 | x{> 0 |⌈ −x ≥ 0 ⇔ |⌈ x ≤ 0 ⇔ |⌈ x≤ 0 ⇔ x > −1. x2 < x+ 2 (x − 2)(x+ 1)< 0 −1 < x< 2

Решение полностью принадлежит ОДЗ неравенства.

Ответ:

$(−1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80011

Решите неравенство

∘1-−-log-(x2− 2x-+-2)-<log(5x2− 10x+ 10) 5 5

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= log (x2− 2x + 2). 5$ Тогда неравенство примет вид

∘1-−-y < 1+ y ( |||{ 1− y ≥ 0 1+ y > 0 |||( 2 1− y < (1+ y) ({ −1 <y ≤ 1 ( y(y + 3) >0 (| ||{ −⌊1 <y ≤ 1 | y < −3 ||( ⌈ y > 0 0< y ≤1

Сделаем обратную замену:

0 < log5(x2− 2x +2)≤ 1 2 1(< x − 2x + 2≤ 5 {x2− 2x+ 1 >0 ( 2 (x − 2x− 3 ≤0 {x ⁄= 1 ( − 1≤ x≤ 3 x ∈[−1;1)∪ (1;3]

Ответ:

$[−1;1)∪(1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#81172

Решите неравенство

(√ ----- ) 3 log14 x+ 3− x+ 3 ≥ −2 + log14 8

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

⌊{ x+ 3> (x− 3)2 √----- || x− 3≥ 0 x +3 >x − 3 ⇔ ||{x + 3≥ 0 ⇔ ⌈ x− 3< 0 ⌊{x + 3> x2− 6x+ 9 ⌊ { || x≥ 3 | 0> x2− 7x+ 6 ||{ ⇔ |⌈ x ≥3 ⇔ ⌈ x≥ − 3 −3≤ x < 3 x< 3 ⌊{ ⌊{ | 0> (x− 6)(x − 1) | 1< x <6 |⌈ x≥ 3 ⇔ |⌈ x≥ 3 ⇔ − 3≤ x< 3 − 3≤ x< 3 ⌊ ⌈3 ≤ x< 6 ⇔ − 3≤ x< 6 − 3≤ x< 3

Таким образом, ОДЗ являются $x ∈[−3;6).$ Решим неравенство на ОДЗ.

Заметим, что

( )2 2 =log14 1 = log14-1 4 16

Тогда имеем:

( ) −2+ log1 3 =log13 − log1 1-= log 1 3 ⋅16 = log 16 4 8 48 4 16 4 8 4

Следовательно,

log1(√x-+-3− x+ 3)≥ −2 + log1 3 4 (√----- ) 4 8 log14 x +3 − x + 3 ≥ log14 6

Так как основание логарифма равно $14 < 1,$ то неравенство равносильно

$pict$

Пересекая полученное решение с ОДЗ, получаем

x ∈{−3} ∪[−2;6)

Ответ:

${− 3} ∪[−2;6)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#81173

Решите неравенство

∘-----------------(-----)- logx(3x− 2)− 2 ≥ log2x(3x− 2)+ 4logx --x-- 3x− 2

Показать ответ и решение

Найдем ограничения логарифмов:

( x> 0 ||||| { x⁄= 1 ||| 3x− 2> 0 ||( --x-- >0 3x− 2

Заметим, что

x x> 0, 3x − 2 > 0 ⇒ 3x−-2 >0

Тогда система равносильна

( ||{ x> 0 ( ) x⁄= 1 ⇔ x∈ 2 ;+ ∞ ∖{1} ||( x> 2 3 3

Преобразуем подкоренное выражение:

( ) log2(3x− 2)+ 4log --x-- = x x 3x− 2 2 = logx(3x− 2)+ 4logxx − 4logx(3x − 2) = = log2x(3x− 2)+4 ⋅1− 2⋅2⋅logx(3x− 2)= 2 2 = logx(3x − 2)− 2⋅2 ⋅logx(3x − 2)+ 2 = = (log (3x − 2)− 2)2 x

Таким образом, правая часть неравенства равна

∘ ----------------(------)- log2x(3x− 2)+ 4logx --x-- = 3x− 2 ∘ --------------2 = (logx(3x − 2)− 2) = |logx(3x− 2)− 2|

Мы выяснили, что подкоренное выражение является полным квадратом, поэтому корень не влияет на ОДЗ неравенства, значит, ОДЗ являются $( 2 ) x ∈ 3;+∞ ∖{1}.$

Тогда на ОДЗ неравенство равносильно

log (3x− 2)− 2≥ |log(3x− 2)− 2| x x

Неравенство $a≥ |a|$ выполняется, если $a≥ 0,$ следовательно,

logx(3x− 2)− 2≥ 0 logx(3x− 2)≥ 2 logx(3x − 2) ≥logxx2

Тогда полученное неравенство равносильно совокупности систем:

( ⌊(| x> 1 ⌊|| x> 1 |||{ 2 ||{ 0≥ x2− 3x+ 2 |||| 3x− 2≥ x ||||( ||(( x2 > 0 ⇔ ||( x⁄= 0 ||||{ 0< x< 1 ||||{ 0< x <1 || 3x− 2≤ x2 || x2− 3x+ 2≥ 0 ⌈||( ⌈||( 2 3x− 2> 0 x> 3

Решая первую систему, получаем $x∈ (1;2].$ Решая вторую систему, получаем $( 2 ) x ∈ 3;1 .$

Значит, решением совокупности являются $(2 ) x∈ 3 ;1 ∪(1;2].$

Пересекая решение с ОДЗ, получаем

( 2 ) x∈ 3;1 ∪ (1;2]

Ответ:

$( ) 2;1 ∪(1;2] 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2