Тема 14. Задачи на прогрессии

14.01 Задачи №14 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24354

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом ряду на два места больше, чем в предыдущей, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

a1 = 20, d = 2, n = 15, a10 =?

Воспользуемся формулой $k$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#50557

В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем — на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в амфитеатре?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем, то количество мест в каждом ряду образует арифметическую прогрессию с разностью $d = 2.$ По условию в первом ряду 12 мест, то есть $a1 = 12.$ Найдём количество мест в 30 ряду по формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии:

a30 =a1 +29 ⋅d = 12+ 29 ⋅2= 70

Найдём количество мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии:

S = a1+-a30⋅30= 12+-70⋅30 =82 ⋅15 = 1230 2 2

Ответ: 1230

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55278

В амфитеатре 24 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду составляют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ По условию $a5 = 27,$ $a7 = 31.$

Тогда

a5+ 2d= a7 27+ 2d= 31 2d= 4 d= 2

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a5 =a1+ 4d 27= a1+ 4⋅2 27= a + 8 1 a1 = 19

Найдём количество мест в последнем ряду:

a24 = a1+ 23d= 19+ 23⋅2= 19+ 46= 65

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46983

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $5,6 ∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 5 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ +6,2 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как реагент охлаждался равномерно, то значения температуры реагента в каждую минуту образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = −5,6.$ Так как начальная температура равна $+6,2 ∘C,$ то $a1 = 6,2.$ Необходимо найти температуру спустся 5 минут, то есть $a6.$ По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a6 = a1+ 5d= 6,2− 5⋅5,6 = −21,8

Ответ: -21,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57580

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.: После 30 минут масса колонии будет $5 ⋅3 мг= 15$ мг.
2.: После 60 минут масса колонии будет $15⋅3 мг= 45$ мг.
3.: После 90 минут масса колонии будет $45⋅3 мг= 135$ мг.
4.: После 120 минут масса колонии станет $135⋅3 мг = 405$ мг.

Значит, через 120 минут масса колонии станет 405 мг.

Ответ: 405

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42851

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как масса изотопа уменьшается вдвое каждые 8 минут, то за 32 минуты масса будет уменьшаться вдвое $32 :8= 4$ раза.

1.: После первого раза масса станет $200-мг= 100 м г. 2$
2.: После второго раза масса станет $1002-мг= 50 мг.$
3.: После третьего раза масса станет $50-мг= 25 мг. 2$
4.: После четвертого раза масса станет $252-мг= 12,5 мг.$

Значит, через 32 минуты масса изотопа станет 12,5 мг.

Ответ: 12,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#24359

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В данной задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, начальный член $a1$ и разность $d$ которой равны 7 и 10 соответственно.