Тема №14. Прогрессии

01 Задачи №14 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №14. прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105905

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом ряду на два места больше, чем в предыдущем, мы имеем дело с арифметической прогрессией. Нам известно, что

a = 25, d= 3, n= 10, a =? 1 8

Воспользуемся формулой $n$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 46

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105906

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

a =20, d = 3, n= 14, a =? 1 10

Воспользуемся формулой $n$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 47

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105971

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию с разностью $d =3.$ По условию в первом ряду 19 мест, то есть $a1 = 19.$ Найдём количество мест в последнем 10 ряду по формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

an = a1+ (n− 1)⋅d.

Тогда

a10 = 19+ (10− 1)⋅3 = 46.

Найдём количество мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии

Sn = a1+-an⋅n. 2

Таким образом,

S = S10 = 19+-46⋅10 =65 ⋅5 = 325. 2

Ответ: 325

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43992

В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду составляют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ По условию $a5 = 27,$ $a8 = 36.$

Тогда

a5+ 3d= a8 27+ 3d= 36 3d= 9 d= 3

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a5 =a1+ 4d 27= a1+ 4⋅3 27 =a1 +12 a1 = 15

Найдём количество мест в последнем ряду:

a14 = a1+ (14− 1)d= a1+ 13d= = 15+ 13⋅3= 15+ 39= 54.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105978

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $9∘C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 4 минуты после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $∘ − 5 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a ∘n C$ — температура реагента в $n$ -ую минуту. Тогда в момент начала эксперимента знаем, что $a1 = −5.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 9.$

Нам нужно посчитать $a5,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a5 = a1+(5− 1)⋅d= = −5 +4 ⋅(− 9)= = −5 − 36 = −41.

Ответ: -41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105979

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $5∘C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 9 минут после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $∘ − 8 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a ∘n C$ — температура реагента в $n$ -ую минуту. Тогда в момент начала эксперимента знаем, что $a1 = −8.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 5.$

Нам нужно посчитать $a10,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a10 = a1 +(10− 1)⋅d= = −8 +9 ⋅(− 5)= = −8 − 45 = −53.

Ответ: -53

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105980

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждую следующую секунду автомобиль проезжал на одно и то же количество метров меньше, чем в предыдущую, то такие расстояния образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью $d = −4.$ По условию $a1 = 30.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a5 =a1 +4d = = 30+ 4 ⋅(−4) = = 30− 16= 14.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал автомобиль за первые 5 секунд торможения:

a1+-an S5 = 2 ⋅n= 30+-14 = 2 ⋅5 = 22⋅5= 110.

Ответ: 110

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105981

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a5 =a1 +4d = = 15+ 4 ⋅(−2) = = 15− 8= 7.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал автомобиль за первые 5 секунд торможения:

a1+-an S5 = 2 ⋅n= 15+-7 = 2 ⋅5 = 11⋅5= 55.

Ответ: 55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105985

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 8 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 8 метров меньше, чем в предыдущую. Найдем эти расстояния.

За первую секунду автомобиль проехал 24 м.

За вторую секудну автомобиль проехал $24− 8= 16$ м.

За третью секунду автомобиль проехал $16 − 8= 8$ м.

За четвертую секунду автомобиль проехал $8 − 8 = 0$ м.

Таким образом, автомобиль остановился за первые 3 секунды. Тогда суммарно он проехал

S =24 +16+ 8 =48 м.

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#106168

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждую следующую секунду поезд проезжал на одно и то же количество метров больше, чем в предыдущую, то такие расстояния образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d = 0,1.$ По условию $a1 = 0,6.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a7 =a1 +6d = = 0,6+ 6⋅0,1= = 0,6+ 0,6= 1,2.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал поезд за первые 7 секунд движения:

a1+-an S7 = 2 ⋅n= 0,6+-1,2 = 2 ⋅7= 0,9⋅7= 6,3.

Ответ: 6,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#106169

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a10 = a1+ 9d= = 0,4+ 9⋅0,3= = 0,4+ 2,7= 3,1.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал поезд за первые 10 секунд движения:

a1+-an- S10 = 2 ⋅n= 0,4-+3,1 = 2 ⋅10= 3,5⋅5= 17,5.

Ответ: 17,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#106174

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 18 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.: После 20 минут масса колонии будет равна $18 ⋅3 мг.$
2.: После 40 минут масса колонии будет равна $18 ⋅3⋅3 мг =18 ⋅9 мг.$
3.: После 60 минут масса колонии будет равна $18⋅9⋅3 мг = 18 ⋅27 мг= 486 мг.$

Значит, через 60 минут масса колонии станет 486 мг.

Ответ: 486

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#106175

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим табличку с массой изотопа с интервалом в 7 минут:

|0-мин-|160-мг| |7-мин-|-80 мг| |14 мин|-40 мг| |21 мин|-20 мг| -28 мин--10 мг-

Тогда через 28 минут масса изотопа будет равняться 10 мг.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#106177

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим табличку с массой изотопа с интервалом в 6 минут:

|0-мин-|640-мг| |6-мин-|320-мг| |12 мин|160-мг| |18 мин|-80 мг| |24 мин|-40 мг| |30 мин|-20 мг| |36 мин|-10 мг| -42 мин--5-мг--

Тогда через 42 минуты масса изотопа будет равняться 5 мг.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#106178

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Выпишем высоты, на которые подлетал мячик после каждого отскока. Будем вести расчет в сантиметрах.

1.: После первого отскока мячик подлетел на высоту 3,6 м, то есть 360 см.
2.: После второго отскока мячик подлетел на высоту $360 -3-см = 120 см.$
3.: После третьего отскока мячик подлетел на высоту $120- 3 см =40 см.$
4.: После четвертого отскока мячик подлетел на высоту $40-см =131 см. 3 3$

Значит, после 4-го отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#106179

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Выпишем высоты, на которые подлетал мячик после каждого отскока. Будем вести расчет в сантиметрах.

1.: После первого отскока мячик подлетел на высоту 4 м, то есть 400 см.
2.: После второго отскока мячик подлетел на высоту $400 -2-см = 200 см.$
3.: После третьего отскока мячик подлетел на высоту $200- 2 см =100 см.$
4.: После четвертого отскока мячик подлетел на высоту $100-см= 50 см. 2$
5.: После пятого отскока мячик подлетел на высоту $50 -2 см= 25 см.$
6.: После шестого отскока мячик подлетел на высоту $25 см= 12,5 см. 2$

Значит, после 6-го отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см.

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#120402

Показать ответ и решение

Выпишем высоты, на которые подлетал мячик после каждого отскока. Будем вести расчет в сантиметрах.

1.: После первого отскока мячик подлетел на высоту 3,6 м, то есть 360 см.
2.: После второго отскока мячик подлетел на высоту $360 -3-см = 120 см.$
3.: После третьего отскока мячик подлетел на высоту $120- 3 см =40 см.$
4.: После четвертого отскока мячик подлетел на высоту $40-см =131 см. 3 3$

Значит, после 4-го отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#120406

Показать ответ и решение

Выпишем высоты, на которые подлетал мячик после каждого отскока. Будем вести расчет в сантиметрах.

1.: После первого отскока мячик подлетел на высоту 3,6 м, то есть 360 см.
2.: После второго отскока мячик подлетел на высоту $360 -3-см = 120 см.$
3.: После третьего отскока мячик подлетел на высоту $120- 3 см =40 см.$
4.: После четвертого отскока мячик подлетел на высоту $40-см =131 см. 3 3$

Значит, после 4-го отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

Ответ: 4