№16 из ЕГЭ 2022 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30771Максимум баллов за задание: 2

В июле 2016 года планируется взять кредит на пять лет на сумму 1100 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в 2017, 2018 и 2019 годах сумма долга не изменяется;

– платежи в 2020 и в 2021 годах должны быть равны;

– к июлю 2021 года долг должен быть выплачен полностью.

На сколько рублей будут отличаться первый и последний платежи?

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим равные в 2020 и 2021 годах выплаты за $S1$ тыс. рублей.

По условию в 2017, 2018 и 2019 годах долг остается равным $S = 1100$ тыс. рублей. Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1) значение в столбце «Выплата» за 2017, 2018 и 2019 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;

2) сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2017	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2018	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2019	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2020	$S$	$1,2S$	$S1$	$1,2S − S1$

2021	$1,2S− S1$	$1,2(1,2S − S1)$	$S1$	$1,2(1,2S − S1)− S1$

По условию задачи долг был погашен полностью, значит,

36 11 36 1,2(1,2S − S1)− S1 = 0 ⇔ 25S = 5 S1 ⇔ S1 = 55S

Первый платеж был равен $0,2S,$ а последний был равен $3565S,$ значит, их разность равна

( ) 36S− 0,2S = 36-− 11 S = 25S = 5-S = 5-⋅1100= 500 55 55 55 55 11 11

Ответ: 500 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30772Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года на сумму 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть равны;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что общая сумма платежей будет равна 1190,4 тыс. рублей. Чему будет равна третья выплата?

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1$ (из условия они равны). По условию в 2029 году кредит был погашен.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2027	$S$	$1,2S$	$S 1$	$1,2S− S 1$

2028	$1,2S − S1$	$1,2(1,2S− S1)$	$S1$	$1,2(1,2S − S1)− S1$

2029	$1,2(1,2S − S1)− S1$	$1,2(1,2(1,2S − S1)− S1)$	$1,2 (1,2(1,2S− S1)− S1)$	0

По условию сумма всех выплат равна 1190,4 тыс. рублей, значит, можем составить уравнение:

2S1+ 1,2(1,2(1,2S − S1)− S1)= 1190,4 2S + 1,44 (1,2S − S )− 1,2S = 1190,4 1 1 1 0,8S1+ 1,728S− 1,44S1 = 1190,4 1,728S− 1190,4= 0,64S1 S1 =2,7S− 1860= 2,7 ⋅800− 1860= 300

Тогда выплата за 2029 год в тыс. рублей равна

1190,4 − 2S1 = 1190,4− 600 = 590,4

Ответ: 590,4 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30773Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1 = 300$ тыс.руб., а за $S$ тыс. руб. — сумму, на которую был взят кредит.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2027$	$S$	$1,3S$	$S1$	$1,3S− S1$

$2028$	$1,3S− S1$	$1,3(1,3S − S1)$	$S1$	$1,3(1,3S − S1)− S1$

$2029$	$1,3(1,3S − S1)− S1$	$1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)$	$1,3(1,3(1,3S − S1) − S1)$	$0$

По условию в 2029 году кредит был погашен платежом в размере $860,6$ тыс. руб., значит, можем составить уравнение:

1,3(1,3(1,3S− S1)− S1)= 860,6 1,3(1,3(1,3S− 300)− 300) =860,6 1,3(1,3S − 300)− 300= 662 1,3(1,3S− 300)= 962 1,3S − 300 = 740 1,3S = 1040 S = 800

Значит, кредит был взят на сумму 800 тыс. руб.

Ответ:

800 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30774Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Составим таблицу, в которой вычисления будем ввести в тыс. руб.

|--|---------------------|----------------------------|--------| |--|------Долг-до-%-------|--------Д-олг-после-%---------|П-латеж--| |1-|---------700---------|-----------1,2⋅700-----------|--400---| |2-|-----1,2⋅700−-400-----|------1,2(1,2⋅700−-400)------|--400---| |3 |1,2(1,2⋅700− 400)− 400 |1,2(1,2(1,2 ⋅700− 400)− 400) =x | x | ---------------------------------------------------------------

Тогда

x= 1,2(1,2(1,2 ⋅700 − 400)− 400)= 2 = 1,2(1,2 ⋅700− 400(1,2+ 1))= 12- (36 22-) = 10 ⋅ 25 ⋅700 − 400⋅ 10 = = 1210-⋅(36 ⋅28 − 40 ⋅22)= = 12-⋅16⋅8= 153,6 10

Тогда сумма всех платежей равна $153,6 +400+ 400= 953,6$ тыс. руб.

Ответ: 953,6 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105256Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 400 тысяч рублей на три года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть равны;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 280,8 тыс. рублей. Чему равен платёж в 2027 году?

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1$ тыс.руб., а за $S = 400$ тыс. руб. — сумму, на которую был взят кредит.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2027$	$S$	$1,3S$	$S1$	$1,3S− S1$

$2028$	$1,3S− S1$	$1,3(1,3S − S1)$	$S1$	$1,3(1,3S− S1)− S1$

$2029$	$1,3(1,3S − S1)− S1$	$1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)$	$280,8$	$0$

По условию в 2029 году кредит был погашен платежом в размере $280,8$ тыс. руб., значит, можем составить уравнение:

1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)= 280,8 1,3(1,3S − S1)− S1 = 216 1,69S − 2,3S1 = 216 2,3S1 = 1,69⋅400− 216 2,3S1 =460 S1 = 200

Значит, платёж в 2027 году был 200 тыс. руб.

Ответ:

200 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#26920Максимум баллов за задание: 2

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1000 тыс. рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа с 1-го по 20-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 1441 тыс. рублей, а долг на 15-е число 20-го месяца — 400 тыс. рублей. Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Кредит взят на 21 месяц, обозначим размер кредита за $S = 1000$ тыс. рублей. По условию 15-го числа с 1-го по 20-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Обозначим размер этой суммы за $B.$ Тогда 15-го числа 1-го месяца долг будет равен $S− B,$ 2-го месяца — $S− 2B,$ 20-го месяца — $S − 20B.$

По условию долг на 15-е число 20-го месяца составляет 400 тыс. рублей, то есть

S− 20B = 400 B = S−-400= 1000−-400-=30 20 20

Получили, что $B = 30.$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» можно найти как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот месяц.


месяц	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + r100S$	$1r00S + B$	$S − B$

$2$	$S − B$	$(S− B )+ r100(S− B)$	$1r00(S − B)+ B$	$S− 2B$

$3$	$S − 2B$	$(S − 2B )+ r100(S− 2B)$	$1r00(S − 2B )+B$	$S− 3B$

…	…	…	…	…

$k +1$	$S − kB$	$(S− kB )+ r100(S− kB)$	$1r00(S − kB )+ B$	$S − (k +1)B$

…	…	…	…	…

$20$	$S− 19B$	$(S − 19B )+ r-(S− 19B) 100$	$r-(S− 19B)+ B 100$	$S − 20B$

$21$	$S− 20B$	$(S − 20B )+ r100(S− 20B)$	$(S− 20B)+ 1r00(S − 20B )$	$0$

Найдем теперь общую сумму выплат как сумму по столбцу «Выплата»:

r r r 100-S+ B + 100-(S − B)+ B +...+ (S − 20B )+ 100(S − 20B)= r r r = 100S + 100-(S − B)+ ...+ 100(S− 20B)+ 20B +S − 20B = r = 100(S+ (S− B)+ ...+(S − 20B ))+ S = r r = 100-⋅21S− 100 ⋅B (1 +2 +...+ 20) +S

Сумму $(1+ 2+ ...+ 20)$ можно найти по формуле арифметической прогрессии:

1-+20 1+ 2+ ...+ 19+ 20= 2 ⋅20 = 210

Тогда сумма выплат будет равна

-r- -r- 100 ⋅21S +S − 100 ⋅210B = r-- = S + 100(21S− 210B)= -r- = S +21 ⋅100 ⋅(S− 10B)

Из условия известно, что общая сумма выплат составила 1441 тыс. рублей, то есть

r S + 21 ⋅100 ⋅(S− 10B)= 1441

Подставим значения $S$ и $B :$

r 1000+ 21⋅100 ⋅(1000− 10 ⋅30) =1441 r 21⋅100 ⋅700= 441 ⇔ r = 3

Ответ: 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26922Максимум баллов за задание: 2

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

Источники: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят на 26 месяцев, обозначим размер кредита за $S$ тыс. рублей.

15-го числа с 1-го по 25-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Обозначим размер этой суммы за $B = 20$ тыс. рублей.

Тогда 15-го числа 1-го месяца долг будет равен $S − B,$ 15-го числа 2-го месяца — $S − 2B,$ 15-го числа 25-го месяца — $S − 25B.$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» можно найти как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот месяц.


месяц	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + 3-S 100$	$-3S + B 100$	$S − B$

$2$	$S − B$	$(S− B )+ 3100(S− B)$	$1300(S − B)+ B$	$S− 2B$

$3$	$S − 2B$	$(S − 2B )+ 3100(S− 2B)$	$1300(S − 2B )+B$	$S− 3B$

…	…	…	…	…

$k +1$	$S − kB$	$(S− kB )+ 3-(S− kB) 100$	$-3(S − kB )+ B 100$	$S − (k +1)B$

…	…	…	…	…

$25$	$S− 24B$	$3 (S − 24B )+ 100(S− 24B)$	$3 100(S− 24B)+ B$	$S − 25B$

$26$	$S− 25B$	$3-- (S − 25B )+ 100(S− 25B)$	$-3- 100(S − 25B )+ (S − 25B )$	$0$

Найдем теперь общую сумму выплат как сумму по столбцу «Выплата»:

$pict$

Сумму $(1+ 2+ ...+ 24+ 25)$ можно найти по формуле арифметической прогрессии:

1-+25 1+ 2+ ...+ 24+ 25= 2 ⋅25 = 325

Тогда сумма выплат равна

3 3 3 100-⋅26S + S− 100 ⋅325B = S+ 100(26S− 325B)= 3 = S+ 13⋅100 ⋅(2S − 25B)

Из условия известно, что общая сумма выплат составила 1407 тыс. рублей, то есть

S+ 13⋅-3- ⋅(2S − 25B )= 1407 100

Подставим значение $B = 20:$

S +13 ⋅ 3-⋅(2S − 25⋅20) =1407 100 S + 39-⋅2S− -39-⋅500= 1407 178 100 100 100S − 195 =1407

Отсюда получаем

178S = 1602 ⇔ S = 160200= 900 100 178

Получили $S = 900.$

Тогда 15-го числа 25-го месяца долг в тыс. рублей составит

S− 25B = 900− 25 ⋅20 = 900 − 500 =400

Ответ: 400 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#30859Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца долг будет возрастать на 1% по сравнению с концом предыдущего;

– со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-ого числа долг уменьшается на фиксированную величину;

– кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что общая сумма платежей оказалась на 20% больше взятой в кредит суммы. На сколько месяцев брали кредит?

Источники: ЕГЭ 2022, резервная волна

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. Так как долг убывает каждый месяц на фиксированную величину, то выплата состоит из набежавших за этот месяц процентов и фиксированной части $x.$ Составим таблицу:

|----|-----------|---------------------------|-------------------| |Год-|-Долг до-%-|-------Д-олг после %-------|-----В-ыплата------| |1---|----S------|---------S-+0,01S----------|-----x-+0,01S------| |2 | S− x | S − x + 0,01(S− x) | x+ 0,01(S − x) | |...-|----...-----|------------...-------------|--------...--------| |----|-----------|---------------------------|-------------------| -n----S−-(n−-1)x--S−-(n−-1)x-+-0,01(S−-(n−-1)x)--x-+0,01(S-−-(n-−-1)x)-|

Так как после $n$ -го месяца долг выплачен полностью, то

S − (n − 1)x+ 0,01(S − (n − 1)x)= x +0,01(S − (n − 1)x) ⇔ ⇔ S− (n− 1)x= x ⇔ S = nx

Из условия следует, что переплата по кредиту составляет 20% от суммы, взятой в кредит, следовательно,

0,01S+ 0,01(S − x)+ ...+0,01(S− (n− 1)x)= 0,2S ⇔ ⇔ Sn − x(1+ 2+ ...+ (n− 1))= 20S ⇔ S 1+ n− 1 ⇔ Sn − n ⋅---2---⋅(n− 1)= 20S ⇔ ⇔ n− n-− 1-= 20 ⇔ n= 39 2

Ответ: 39

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.