Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.12 Конус

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22184

Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Пусть $AB$ — диаметр основания конуса, $C$ — вершина конуса, $D$ — центр основания конуса. Тогда осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный $△ ABC$ с основанием $AB$ и высотой $CD.$ Тогда $BD = 16,$ $BC = 20,$ следовательно, по теореме Пифагора

CD = ∘202-− 162 = 12.

$PIC$

Значит, площадь осевого сечения равна

S = 1⋅CD ⋅AB = 192. △ABC 2

Ответ: 192

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#587

Площадь боковой поверхности конуса равна $48π,$ а площадь основания равна $36π.$ Найдите длину образующей конуса.

Показать ответ и решение

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса, обозначить за $r,$ а длину образующей за $l,$ то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам:

2 Sосн. = πr, Sбок.пов. = πrl

Из первой формулы получаем:

2 2 πr = 36π ⇒ r = 36 ⇒ r = 6

Из второй формулы получаем:

6πl = 48π ⇒ 6l = 48 ⇒ l = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#588

Площадь боковой поверхности конуса равна $48π,$ а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же большим основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна $36π.$ Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна 10.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей:

S = 48π − 36π = 12π мал

Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия треугольников, являющихся осевыми сечениями этих конусов:

k2 = Sбол-= 48π = 4 ⇒ k = 2 Sмал 12π

$PIC$

Тогда отношение высот конусов равно коэффициенту подобия:

-10-= hбол =k = 2 hмал hмал

Отсюда найдем высоту малого и усеченного конусов:

hмал = 5 ⇒ hусеч = hбол− hмал =10 − 5 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47853

Образующая конуса равна 26, а диаметр основания равен 48. Найдите высоту конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

Диаметр основания равен 48, значит, радиус основания равен 24.

Образующая, высота и радиус конуса образуют прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора можем найти квадрат высоты конуса:

h2 = 262− 242 = (26 − 24)⋅(26+ 24) =2 ⋅50 = 100

Тогда высота конуса равна

h = √100= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57725

Высота конуса равна 16, а диаметр основания равен 60. Найдите длину образующей конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

Высота конуса, радиус основания и образующая составляют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Следовательно, по теореме Пифагора она равна

∘ -------- 162+ 302 = 34.

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75982

Образующая конуса равна 10, длина окружности основания конуса равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле

S = πRl,

где $R$ — радиус основания конуса, $l$ — длина образующей. Длина окружности основания конуса равна

L = 2πR,

значит

L πR = --. 2

Тогда

L- 6 S = πRl = 2 ⋅l = 2 ⋅10 = 30.

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1671

Радиусы оснований усечённого конуса равны $r = 4√-2√--- 2 π$ и $R = √410√--, 2 π$ а угол между его образующей и основанием равен $∘ 45 .$ Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Показать ответ и решение

Обозначим центры оснований усечённого конуса через $A$ и $E,$ так что $A$ — центр большего основания. Отметим на большем основании точку $C,$ а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из $C,$ обозначим через $D.$