Тема Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

№16 из ЕГЭ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#383Максимум баллов за задание: 2

15-ого января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

|Дата-----------|15.01|15.02|15.03|15.04|15.05-|15.06-|15.07-| |Долг-(в-млн руб.)--1--|-0,9-|-0,8-|-0,7-|-0,6-|-0,5-|--0--| -----------------------------------------------------------

Найдите наименьшее значение $r,$ при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,3 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Составим таблицу, где $t= 1+ -r- = 100+-r. 100 100$

|Месяц-|Долг в-млн-руб.|Д-олг в-млн руб.|Долг-в млн-руб.|Вы-плата-в млн-руб. | | до начисления |после начисления | после вы платы | | |------|--процентов---|---процентов----|--------------|-----------------| |1-----|------1-------|-------t-------|-----0,9------|-----t-− 0,9-----| |2-----|-----0,9------|------0,9t------|-----0,8------|-----0,9t−-0,8-----| |3-----|-----0,8------|------0,8t------|-----0,7------|-----0,8t−-0,7-----| |4-----|-----0,7------|------0,7t------|-----0,6------|-----0,7t−-0,6-----| |5-----|-----0,6------|------0,6t------|-----0,5------|-----0,6t−-0,5-----| -6-----------0,5-------------0,5t-------------0---------------0,5t--------

Тогда общая сумма выплат составляет

0,1t⋅(10+ 9+ 8+ 7 +6 +5)− 0,1(9 +8 +7 +6 +5)= 4,5t− 3,5

Так как общая сумма выплат должна быть более 1,3 млн рублей, то имеем неравенство:

4,5t− 3,5> 1,3 ⇔ t> 16 15

Отсюда $r > 100 15$ и наименьшее целое $r = 7$ .

Ответ: 7%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#24918Максимум баллов за задание: 2

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдушего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;

– выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

– к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Сумма кредита равна $S$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Выплаты за 2020 и 2021 годы составили $S1 = 625$ тыс. рублей. Вычисления ниже будем вести в тысячах рублей.

Составим таблицу с учетом того, что в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $S,$ то есть сумма долга после выплаты равна $S.$ Выплаты за эти года равны разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга до начисления процентов». При этом сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

|----|---------------|-----------------|---------|-----------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга |В ыплата | Сумма долга | |----|до-начисления %-|после-начисления-%-|---------|--после выплаты--| |2017 | S | 1,25S |1,25S − S | S | |2018-|------S--------|------1,25S-------|1,25S-− S-|-------S---------| |----|---------------|-----------------|---------|-----------------| |2019-|------S--------|------1,25S-------|1,25S-− S-|-------S---------| |2020-|------S--------|------1,25S-------|---S1----|----1,25S-− S1----| -2021-----1,25S−-S1------1,25(1,25S-−-S1)------S1-----1,25(1,25S−-S1)−-S1-

Отметим, что к концу пятого года с долг полностью погасится, а значит, значение суммы долга после выплаты в 2021 году равно 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Теперь найдем общую сумму выплат по столбцу «Выплата»:

1,25S − S + 1,25S− S + 1,25S− S +S1 +S1 = = 0,75S+ 2S1 = 0,75⋅900 +2 ⋅625 = 1925

Ответ: 1925 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#382Максимум баллов за задание: 2

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года он будет больше 10 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна

Показать ответ и решение

Пусть $A$ млн рублей — первоначальный вклад. Составим таблицу:

|----|---------------------------------|------------------------------------| Год Сумма в млн на счете до начисления % Сумм а в м лн на счете после |1---|---------------A-----------------|----------------1,12A-----------------| |2---|--------------12,1A----------------|---------------1,12A-----------------| |34---|---------1,1(11,,112AA-++11)+-1----------|--------1,1(11,,11((11,,112AA++11))+-1)----------| ----------------------------------------------------------------------------

Так как в конце четвертого года вклад должен быть больше 10 млн рублей, то имеем следующее неравенство:

2 1,1(1,1(1,1 A +1)+ 1)> 10 1,14A +1,12+ 1,1> 10

Преобразовав данное неравенство, получим

A> 76900- 14641

Выполнив деление в столбик до целой части, получим, что наименьшее целое $A,$ удовлетворяющее неравенству, равно $A = 6.$

Ответ: 6 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1707Максимум баллов за задание: 2

В августе $2016$ года планируется взять кредит в банке в размере $5,3$ млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый год в январе долг возрастает на $y%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
– с февраля по июль необходимо выплатить часть долга одним платежом;
– в августе $2017, 2018$ и $2019$ годов долг остается равным $5,3$ млн рублей;
– платежи в $2020$ и $2021$ годах равны.
При каком $y$ долг будет выплачен полностью, причем общая выплата по кредиту должна составить $8,18$ млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна, резерв

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $x$ млн рублей – годовой платеж в $2020$ и $2021$ годах.

$|-----|---------------------|-----------------------------------------------|------------| |Го д | Д олг в августе |Д олг в январ е (посл е н ачислен ия про центов) � |1 | 5,3 | (1 + 0,01y) ⋅ 5,3 |0,01y ⋅ 5, 3| |-----|---------------------|-----------------------------------------------|------------| |2----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|0,01y-⋅ 5,-3| |3----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|0,01y-⋅ 5,-3| |4----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|-----x------| |5 |(1 + 0,01y) ⋅ 5,3 − x| (1 + 0,01y )((1 + 0,01y ) ⋅ 5,3 − x ) | x | -----------------------------------------------------------------------------------------$

Т.к. в итоге кредит должен быть погашен, то $(1 + 0,01y)((1 + 0,01y ) ⋅ 5,3 − x) = x$

Общая сумма выплат – это сумма всех платежей: $3 ⋅ 0, 01y ⋅ 5,3 + 2x = 8,18$

Найдем из этого уравнения платеж $x = 8,-18 −-3 ⋅ 0,01y-⋅-5,3 2$ . Следовательно:

$8,18 − 3 ⋅ 0,01y ⋅ 5,3 (1 + 0,01y )2 ⋅ 5,3 − (2 + 0,01y) ⋅--------------------= 0 2$

Обозначим за $t = 0,01y$ , тогда уравнение сведется к $1325t2 + 2241t − 288 = 0 ⇒ t = 0,12 ⇒ y = 12%$

Ответ:

$12%$ .