15.05 Отрезки - Каталог заданий по ЕГЭ - Информатика БУ в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#28811Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [5,35]$ и $Q = [14,24]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого промежутка $A$ , что формула

((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∕∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение $1$ при любом значении переменной $\text{[math]}$ .

Показать ответ и решение

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(5, 35 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(14, 24 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) == (x in q)) <= (x not in a)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#29022Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [0;10]$ и $Q = [25;50]$ . Укажите наименьшую возможную длину промежутка $A$ , для которого формула

(x ∕∈ A ) → ((x ∕∈ P)∧ (x ∕∈ Q ))

тождественно истинна (т.е. принимает значение $1$ при любых значениях переменной $x$ ).

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию:

(x ∈ A)∨ ((x ∕∈ P )∧(x ∕∈ Q))

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

((x ∈ P) ∨(x ∈ Q ))

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ принадлежит или отрезку $Q$ , или отрезку $P$ , или им одновременно. Поскольку в исходном выражении между условием с P и условием с Q стоит И, то нам нужно в отрезок А включить все случаи, когда выражение, написанное в предыдущем предложении истинно. $(x ∈ P ) == 1$ – это отрезок P, его мы включаем в отрезок А, $(x ∈ Q) == 1$ – это отрезок Q, его мы тоже включаем в отрезок А. Таких случаев когда $(x ∈ P )$ и $(x ∈ Q )$ равны 1 нет, поскольку между отрезками P и Q нет пересечения. Сейчас наш отрезок А это два отрезка: $[0;10]$ и $[25;50]$ . Такого быть не может и нам нужно получить один отрезок. Единственная возможность, когда эти два отрезка будут включены в один отрезок и при этом данный отрезок будет минимальным по длине, это отрезок $[0;50]$ , при таком отрезке А выражение будет тождественно истинным. Его длина $50− 0 = 50$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(0, 10 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(25, 50 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x not in a) <= ((x not in p) and (x not in q))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#29450Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны отрезки $P = [10;50],Q = [30;65]$ и функция

------- F(x) = (x ∈ A ) → (((x ∈ P )∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A))

При какой наименьшей возможной длине отрезка $A$ функция $F (x)$ истинна при любом значении переменной $x$ ?

Показать ответ и решение

Решение руками

Запишем, чего хотят враги:

( |||x ∕∈ A { ||x ∈ P |(x ∈ Q

Тогда мечты врагов такие: «Вот бы $x$ одновременно принадлежал $P$ и $Q$ и не принадлежал $A$ ». То есть, враги хотят, чтобы отрезок $[30;50]$ не принадлежал $A$ .

Тогда друзья говорят: «Весь отрезок $[30;50]$ принадлежит $A$ ». Значит, наименьшая длина отрезка $A$ равна $20$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(10, 50 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(30, 65 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x not in a) <= (((x in p) and (x in q)) <= (x in a))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#29699Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [7;33]$ и $Q = [13;19]$

Каким может быть промежуток $A$ чтобы формула

((x∈∕A ) → (x ∕∈ P))∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна при любых значениях переменной $x$ . В ответ запишите наименьшую возможную целую длину промежутка $A$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Система для врагов:

( |||x ∈ P { ||x ∕∈ Q |(x ∕∈ A

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [7;13)∪ (19;33])$ (одновременно в $P$ и не в $Q$ ) и при этом они были не в $A$ .

Друзья хотят, чтобы все эти иксы были в $A$ , тогда его можно сделать $[7;33]$ . Длина = $33− 7 = 26$

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(7, 33 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(13, 19 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x not in a) <= (x not in p)) or (x in q)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#29700Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [33;65]$ и $Q = [45;83]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$(x ∈ P ) → (((x ∈ Q )∧(x ∕∈ A)) → (x ∕∈ P))$

тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наименьшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию:

(x ∕∈ P )∨ (((x∈∕Q )∨ (x ∈ A))∨ (x ∕∈ P))

Уберем лишние скобки и одну скобку $(x ∕∈ P )$ :

(x ∕∈ P )∨(x ∕∈ Q)∨ (x ∈ A)

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

((x ∈ P )∧ (x ∈ Q))

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ принадлежит отрезку $Q$ и отрезку $P$ одновременно. Это выполняется при $x ∈ [45;65]$ Тогда, чтобы исходное выражение выполнялось, необходимо чтобы отрезок A «перекрывал» эту область. Поскольку в задании проясят найти минимальную длину отрезка A, то $A = [45;65]$ . Его длина равна $65 − 45 = 20$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(33, 65 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(45, 83 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#29701Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [3;18]$ и $Q = [12;25]$

Укажите наибольшую длину промежутка $A$ , при котором формула

((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∕∈ A)

тождественно истинна при любых целых значениях переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Изобразим известную часть на числовой прямой:

$PIC$

Заштрихованные области, это области, в которых известная часть истина. Вспомним таблицу истинности импликации: импликация дает ложь только если из 1 следует 0. Отсюда делаем вывод, что чтобы исходное выражение давало истину мы должны избегать такой ситуации.

Рассмотрим сначала не заштрихованные области – там тождество дает 0, тогда $x∈∕A$ может быть как 1 так и 0, то есть $x$ может как и принадлежать отрезку $A$ , так и не принадлежать.

Теперь рассмотрим заштрихованные области – так мождество дает 1, тогда $x ∕∈ A$ должно быть тоже 1, то есть эти $x$ должны не принадлежать $A$ .

Из этих рассуждений делаем вывод, что отрезок $A$ может лежать в области $[3;12)$ или в области $(18;25]$ . Так как мы ищем промежуток максимальной длины, то $A = [3;12)$ . Его длина равна $12 − 3 = 9$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(3, 18 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(12, 25 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) == (x in q)) <= (x not in a)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#29702Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [15;50]$ и $Q = [7;63]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$((x ∈ P) → (x ∈ A ))∧((x ∈ A ) → (x ∈ Q))$

тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наибольшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками):
Система для врагов:

⌊( { x ∈ P ||( || x ∕∈ A ||({ |⌈ x ∈ A ( x ∕∈ Q

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [15;50]$ (в $P$ ) и при этом они не были в A или $x ∕∈ [7;63]$ (не в $Q$ ) и при этом они были в A.

Друзья хотят, чтобы иксы $[15;50]$ были в A, а иксы $(− ∞; 7)∪ (63;+ ∞ )$ были не в А, тогда можно сделать $A = [7;63]$ . Длина = $63− 7 = 56$

Решение 2 (прогой):

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(15, 50 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(7, 63 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) <= (x in a)) and ((x in a) <= (x in q))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#29703Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны три отрезка:

$P = [5;25]$ , $Q = [15;35]$ и $K = [25;40]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

((x ∈ Q) → (x∈∕K ))∧ (x ∈ A)∧ (x∈∕P )

тождественно ложна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наибольшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

((x∈∕Q )∨ (x ∕∈ K ))∧ (x ∈ A )∧ (x ∕∈ P)

Для наглядности изобразим известную часть на числовой прямой:

$PIC$

На рисунке заштрихованы области, которые дают истину в известной части. Тогда, чтобы все выражение давало ложь, необходимо, чтобы отрезок $A$ не попадал в эти области. Отсюда наибольший отрезок $A = [5;35]$ . Его длина: $35− 5 = 30$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт ложь. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ , $Q$ и $K$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение истинно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно ложно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(5, 25 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(15, 35 + 1)  # Задаём отрезок Q
k = range(25, 40 + 1)  # Задаём отрезок K
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на ложность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт истину (1), то
            if (((x in q) <= (x not in k)) and (x in a) and (x not in p)) == 1:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#29704Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [27;68]$ и $Q = [38;71]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P) → (((x ∈ Q)∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬(x ∈ P)∨ (¬((x ∈ Q) ∧¬ (x ∈ A))∨ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P)∨ ¬(x ∈ Q )∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Инвертируем известную часть:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ принадлижит отрезку $P$ и отрезку $Q$ одновременно. На числовой прямой это отрезок $[38,68]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [38;68]$ , его длина $68 − 38 = 30$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(27, 68 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(38, 71 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#29705Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [21;52]$ и $Q = [33;71]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

¬ (x ∈ A) → ((x ∈ Q) → (x ∈ P ))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Рассмотрим данное логическое выражение и применим законы де Моргана для его преобразования:

(x ∈ A )∨ ((x ∈ Q) → (x ∈ P ))

Сначала преобразуем импликацию:

(x ∈ A )∨ (¬ (x ∈ Q)∨ (x ∈ P ))

Затем упрощаем выражение:

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q )∨(x ∈ P)

Это выражение говорит нам о том, что хотя бы одно из следующих условий должно быть истинным:

1. $x$ принадлежит множеству $A$ .

2. $x$ не принадлежит множеству $Q$ .

3. $x$ принадлежит множеству $P$ .

Таким образом, если хотя бы одно из этих условий выполняется, всё выражение будет истинным.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы выбрать множество $A$ , которое будет перекрывать область отрезка $Q$ , исключая элементы из $P$ . Это означает, что нам нужно покрыть все значения, которые могут находиться в интервале $(52;71]$ .

Следовательно, минимальная длина множества $A$ должна составлять:

A = 71− 52 = 19

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(21, 52 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(33, 71 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x not in a) <= ((x in q) <= (x in p))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#29706Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [44;49]$ и $Q = [25;58]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

((x ∈ A ) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение $1$ при любых $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Рассмотрим логическое выражение:

((x ∈ A ) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

Сначала преобразуем импликацию:

(x ∈ A ) → (x ∈ P) = (¬(x ∈ A)∨ (x ∈ P ))

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

(¬(x ∈ A )∨ (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

Упрощаем его до следующего вида:

(x ∕∈ A)∨ (x ∈ P )∨(x ∈ Q)

Мы хотим, чтобы данное выражение было истинным. Это означает, что необходимо, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:

1. $x ∕∈ A$

2. $x ∈ P$

3. $x ∈ Q$

Таким образом, $x$ должно принадлежать множеству $(− ∞, 25)∪(58,+∞ )$ , и все эти значения должны находиться в множестве $A$ .

Следовательно, задача заключается в том, чтобы выбрать такое множество $A$ , которое не перекрывает указанные значения. Одним из вариантов для множества $A$ может быть $A = [25,58]$ .

Таким образом, максимальная длина множества $A$ будет равна:

Длина A = 58− 25 = 33

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(44, 49 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(25, 58 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in a) <= (x in p)) or (x in q)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#29707Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [6;42]$ и $Q = [26;55]$ . Укажите максимальное количество целых чисел, которые могут принадлежать отрезку $A$ , что формула

((x ∈ P) → ¬(x ∈ Q )) → ¬(x ∈ A)

истинна при любом целом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

((x ∈ P)∧ (x ∈ Q )) ∨(x ∕∈ A )

Дальше инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∕∈ P) ∨(x ∕∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ не принадлижит или отрезку $P$ или отрезку $Q$ или им одновременно. На числовой прямой это область $(− ∞,26)∪ (42,+∞ )$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость $-- A$ . Отсюда максимальный отрезок $A = [26;42]$ . Больше он быть не может, так как тогда при его орицании будет «перекрыта» не вся необходимая область.

Отсется только вычислить количество целых чисел в этом отрезке: $42 − 26 + 1 = 17$ . Это и будет ответом.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальное полученное кол-во целых точек отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(6, 42 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(26, 55 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) <= (x not in q)) <= (x not in a)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#29708Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15,35]$ и $Q = [10,60]$ . Найдите наибольшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ A)∧ ((x ∈ Q) ≡ (x ∈ P))

тождественно ложна, то есть принимает значение $0$ при любых x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Формула $(x ∈ Q) ≡ (x ∈ P)$ будет истинной в следующих случаях:

1. Если $x ∈ P ∩ Q = [15,35]$ .

2. Если $x < 10$ или $x > 60$ .

Формула будет ложной:

1. Для $x < 10$ : оба условия ложны.

2. Для $10 < x < 15$ : истинно только для $Q$ .

3. Для $15 < x < 35$ : истинно для обоих.

4. Для $35 < x < 60$ : истинно только для $Q$ .

5. Для $x > 60$ : оба условия ложны.

Чтобы формула была тождественно ложной, отрезок $A$ должен быть таким, чтобы он не пересекался с интервалом, где формула истинна: $[15,35]$ .

Таким образом, возможные значения для отрезка $A$ :

- Между 10 и 15 и между 35 и 60.

Наибольшая длина отрезка:

- Между 10 и 15 (длина = 5).

- Между 35 и 60 (длина = 25).

Наибольшая возможная длина отрезка:

L = 25.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт ложь. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение истинно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно ложно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(15, 35 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(10, 60 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на ложность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт истину (1), то
            if ((x in a) and ((x in q) == (x in p))) == 1:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#29709Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [23,47]$ , $Q = [13,108]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ Q ) → (¬(x ∈ P)∧ (x ∈ Q ) → (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∕∈ Q)∨ ((x ∈ P) ∨(x ∕∈ Q )∨ (x ∈ A))

(x ∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Дальше инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∕∈ P) ∧(x ∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ не принадлижит отрезку $P$ и принадлежит отрезку $Q$ . На числовой прямой это область $[13,23)∪ (47,108]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [13;108]$ .

Длина этого отрезка: $108 − 13 = 95$ . Это и будет ответом.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 200) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(23, 47 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(13, 108 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 200):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 201):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in q) <= (((x not in p) and (x in q)) <= (x in a))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 95

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#29710Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [8;34]$ , $Q = [4;16]$ и $K = [33;54]$ . Какова наименьшая длина отрезка $A$ , при котором формула

((x ∈ P ) → (x ∈ Q ))∨(¬(x ∈ A) → (x ∈ K ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x∈∕P )∨ (x ∈ Q)∨ (x ∈ A )∨ (x ∈ K)

Для наглядности изобразим известную часть на числовой прямой:

$PIC$

Отсюда видно, что «перекрыты» все области числовой прямой, кроме отрезка $[16;33]$ . Значит эту область должен «перекрывать» отрезок $A$ . Тогда наименьшая длина отрезка $A$ : $33 − 16 = 17$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ , $Q$ и $K$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(8, 34 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(4, 16 + 1)  # Задаём отрезок Q
k = range(33, 54 + 1)  # Задаём отрезок K
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) <= (x in q)) or ((x not in a) <= (x in k))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r + 1)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#29711Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны три промежутка:

$P = [10;15]$ , $Q = [5;20]$ и $K = (15;25]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$((x ∕∈ A) → (x ∈ P )) ≡ ((x ∈ Q) → (x ∈ K ))$

тождественно ложна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наибольшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Для упрощения записи заменим $(x ∈ A ) = A$ , $(x ∈ Q) = Q$ , $(x ∈ P) = P$ и $(x ∈ K) = K$ .

(A-→ P ) ≡ (Q → K )

Первым шагом раскроем импликацию:

(A ∨P ) ≡ (Q-∨ K)

Обратим внимание, что между двумя частямы выражение стоит тождество, тогда, чтобы выражение всегда было ложно нам необходимо подобрать такой отрезок A, чтобы результат правой части всегда отличался от результата левой части. Обозначим на числовой прямой правую часть и определим в каких диапазонах она дает истину, а в каких ложь.

$PIC$

Значит для праой части эти результаты должны быть противоположны. Изобразим известную часть левой части и отметим, какие результаты должны быть в диапазонах.

$PIC$

Таким образом, чтобы исходное выражение всегда было ложно, необходимо, чтобы отрезок $A$ лежал строго в отрезке $[5;15]$ . Так как в задании необходимо найти наибольшую длину отрезка $A$ , то это и будет являться отрезком $A$ : $A = [5;15]$ . Его длина $15− 5 = 10$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт ложь. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ , $Q$ и $K$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение истинно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно ложно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(10, 15 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(5, 20 + 1)  # Задаём отрезок Q
k = range(15 + 1, 25 + 1)  # Задаём отрезок K
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на ложность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт истину (1), то
            if (((x not in a) <= (x in p)) == ((x in q) <= (x in k))) == 1:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#37646Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [7;33]$ и $Q = [13;19]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

((x∈∕A ) → (x ∕∈ P))∨ (x ∈ Q)

была тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите количество возможных отрезков A, при этом левая граница которых не меньше 0, а правая не больше 33, и обе границы - целые числа.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∈ Q)

Дальше инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∈ P) ∧(x ∕∈ Q )

Отсюда видно, что это выражение истинно (а исходное, соответственно, ложно), когда $x$ принадлижит отрезку $P$ и не принадлежит отрезку $Q$ . На числовой прямой это область $[7,13)∪ (19,33]$ Тогда, чтобы исходное выражение всегда было истино необходимо «перекрыть» эту облость отрезком $A$ . Отсюда минимальный отрезок $A = [7;33]$ , а максимальный $A = [0;33]$ (учитывая условия). Заметим, что правую границу двигать нельзя, двигать можно только левую от 0 до 7, при этом граница – целое число. Тогда, всего существует $7− 0 +1 = 8$ отрезков $A$ подходящих под условие.

Решение программой

p = [i for i in range(7, 34)] # задаем отрезок p
q = [i for i in range(13, 20)] # задаем отрезок q
count = 0
for a1 in range(50): # перебираем начало отрезка а
    for a2 in range(a1 + 1, 51): # перебираем конец отрезка а
        c = 0 # флаг, который будет показывать при всех ли х для текущего отрезка а выражение было истинным
        a = [i for i in range(a1, a2)] # формируем отрезок а
        for x in range(1, 500): # перебираем значения x
            # если при текущем x - выражение ложно
            if (((x not in a) <= (x not in p)) or (x in q)) == False:
                c = 1 # меняем значение флага
                # и сбрасываем цикл, переходим к следующему отрезку а,
                # так как для данного отрезка а выражение не тождественно истинно
                break
        if c == 0: # если значение флага не менялось, значит, при любом х при данном отрезке а выражение было истинным
            if a[-1] <= 33:
                count += 1 # увеличиваем счётчик подходящих отрезков
print(count)

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#37647Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;39]$ и $Q = [19;57]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

¬(x ∈ A) → ((x ∈ P ) → ¬ (x ∈ Q))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A)∨ ((x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q))

(x ∈ A)∨ (¬(x ∈ P )∨¬ (x ∈ Q))

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∕∈ Q)

Найдем случаи, когда выражение ложно. Для этого сделаем отрицание известной части и посмотрим, где оно дает истину:

(x ∈ P) ∧(x ∈ Q )

Отсюда следует, что инверсия дает истину когда $x$ принадлежит одновременно и $P$ , и $Q$ . То есть, в этих ситуациях исходное выражение ложно, значит нужно подобрать такой отрезок $A$ , чтобы «перекрыть» эту часть. Это будет отрезок [39; 19]. Значит, наименьшая длина $A = 39− 19 = 20$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(15, 39 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(19, 57 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x not in a) <= ((x in p) <= (x not in q))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#37648Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [19;56]$ и $Q = [32;84]$ . Укажите минимальную возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ P )

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q ))∨(x ∈ P)

(x ∈ A) ∨¬ (x ∈ Q)∨ (x ∈ P )

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q )∨(x ∈ P)

Инвертируем известную часть, чтобы определить иксы, при которых выражение будет ложно.

(x ∈ Q) ∧(x ∕∈ P )

То есть это такие иксы, которые одновременно приналежат отрезку $Q$ и не принадлежат отрезку $P$ , а именно: $x ∈ (56;84]$ . Тогда, чтобы выражение было истино при любых $x$ , необходимо отрезком $A$ «перекрыть» этот отрезок. Тогда $A = [56;84]$ , а его длина $84− 56 = 28$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(19, 56 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(32, 84 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x not in a) and (x in q)) <= (x in p)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#37649Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [3;18]$ и $Q = [12;32]$

Укажите наибольшую длину промежутка А, при котором формула

((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∕∈ A)

тождественно истинна при любых значениях переменной x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Изобразим известную часть на числовой прямой:

$PIC$

Заштрихованные области, это области, в которых известная часть истина. Вспомним таблицу истинности импликации: импликация дает ложь только если из 1 следует 0. Отсюда делаем вывод, что чтобы исходное выражение давало истину мы должны избегать такой ситуации.

Рассмотрим сначала не заштрихованные области – там тождество дает 0, тогда $x∈∕A$ может быть как 1 так и 0, то есть $x$ может как и принадлежать отрезку $A$ , так и не принадлежать.

Теперь рассмотрим заштрихованные области – так мождество дает 1, тогда $x ∕∈ A$ должно быть тоже 1, то есть эти $x$ должны не принадлежать $A$ .

Из этих рассуждений делаем вывод, что отрезок $A$ может лежать в области $[3;12]$ или в области $[18;32]$ . Так как мы ищем отрезок максимальной длины, то $A = [18;32]$ . Его длина равна $32− 18 = 14$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(3, 18 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(12, 32 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) == (x in q)) <= (not (x in a))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 14