Тема Бельчонок

Тригонометрия на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94773

Решите уравнение

2 3sin x− 3cosx− 6 sinx+ 2sin2x+ 3= 0.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении встречаются как sin(x), так и cos(x), поэтому не получается так просто свести всё к одной переменной... Формулки тоже особо не применить тут, разве что синус двойного расписать. Тогда как тут можно попробовать решить, какие методы остаются?

Подсказка 2

Ага, остаётся метод оценки и разложение на множители. И если немного подумать, можно понять, что оценка тут ни к чему не приводит, тогда остаётся раскладывать на множители!

Подсказка 3

Тут можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Мы хотим получить sin²(x), тогда можем поставить в обе скобки sin(x) с коэффами A и B перед ними, при этом B сразу выражается через А. 3 можно расписывать по-разному, применяя основное тригонометрическое тождество, рассмотрите несколько способов.

Подсказка 4

Ура, разложили на множители! Остаётся решить парочку несложных уравнений (помните же про метод вспомогательного угла?) и записать ответ!

Интересный способ решения!

Угадывать разложение на множители, конечно, весело, но есть ещё один способ решения! Можно записать левую часть как стандартный тригонометрический многочлен (погуглите) и выразить скобку с sin(2x) и cos(2x) через скобку с sin(x) и cos(x) (вам может помочь возведение в квадрат). Тогда можно будет ввести замену и решить уравнение!

Показать ответ и решение

Запишем левую часть уравнения как стандартный тригонометрический многочлен:

(4sin2x− 3cos2x)− 6(2sinx +cosx)+9= 0

Обозначим линейную часть (без коэффициента -6 ) через $y$ :

y = 2sin x+cosx

и посчитаем величину $y2$ (при этом запишем её как стандартный тригонометрический многочлен):

y2 =4sin2 x+4sinxcosx +cos2x = 41− cos2x+ 2sin2x+ 1+-cos2x = 1(4sin 2x − 3cos2x)+ 5 2 2 2 2

Видно, что квадратный блок исходного уравнения может быть выражен через квадрат линейного блока:

2 4sin2x− 3cos2x= 2y − 5

Поэтому наше уравнение можно решать с помощью новой неизвестной $y = 2sinx +cosx$ :

y2− 3y +2 =0⇔ y = 1 или y = 2

Возвращаясь к основной неизвестной $x$ , мы получим совокупность из двух уравнений:

[ 2sinx+ cosx =1 2sinx+ cosx =2

⌊ 1- 1- ⌈ cos(x− arccos √15)= √25 cos(x− arccos √5)= √5

⌊ ⌈ x− arccos√15-= ±arccos√15 +2πk,k∈ℤ x− arccos√15-)=± arccos 2√5 + 2πk,k∈ ℤ

⌊ x = π2 + 2πk,k ∈ℤ ||| x = 2πk,k∈ ℤ |⌈ x = 2arccos√15-+2πk,k∈ ℤ x = − π2 + 2arccos√15 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk,2πk,2arccos√1 +2πk,− π +2arccos√1 +2πk, k∈ ℤ 2 5 2 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103394

Решите уравнение

9x 9x 2sin-8 cos-8 +cosx= 2.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает удвоенное произведение? По какой формуле его можно преобразовать?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой синуса двойного угла! Теперь перед нами сумма синуса и косинуса, которая должна быть равна двум. Часто ли такое бывает?

Подсказка 3

И синус, и косинус должен равняться единице! Тогда решим систему уравнений, а затем подумаем, как выразить друг через друга целые переменные в них.

Показать ответ и решение

Запишем уравнение как

9x sin 4 +cosx= 2,

оно эквивалентно системе

{ 9x sin4 = 1 cosx= 1

Уравнения этой системы имеют решения:

{ x= 2π∕9+ 8kπ∕9 x= 2mπ

где $m, n$ — целые.

Приравнивая выражения для $x$ , получаем уравнение

9m =1+ 4k.

Поскольку $9m =8m + m,$ то $m − 1= 4n,$ тогда

m = 4n +1,k= 9(4n-+1)−-1= 9n+ 2. 4

Подставляя значение $m$ в решение второго уравнения, получаем

x =2(4n+ 1)π = 2π+ 8nπ,n = 0,±1,±2,...

Ответ:

$x =2π+ 8πn,n= 0,±1,±2,...$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126026

Решите систему уравнений

{ sin7x+ sin4x= 1 sin27x+ sin24x =1

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во втором уравнении мы видим квадраты синусов. Что можно сделать с квадратами, если мы получим квадраты синусов из первого уравнения?

Подсказка 2

Хотя бы один из двух синусов равен 0, тогда чему равен синус другого угла?

Подсказка 3

Решите две системы уравнений в целых числах.

Подсказка 4

Одна из систем не имеет решений, почему?

Подсказка 5

Вторая система дает решение: x=-π/2+2πn. Проверьте, везде ли переходы были равносильными?

Показать ответ и решение

Возведём первое уравнение в квадрат и вычтем из второго, получим $− 2 sin7xsin4x= 0,$ значит, система распадётся на две:

⌊ { sin7x= 0 || || { sin4x= 1 |⌈ sin7x= 1 sin4x= 0

Решения уравнения первой системы:

( mπ ||{ x= -7- | π kπ , где m,k∈ ℤ |( x= 8 +-2

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $8m = 7+ 28k,$ у которого нет решений в целых числах, так как слева чётное число, а справа нечётное.

Решения уравнения второй системы:

( m π ||{ x= -4- | π 2kπ , где m, k∈ℤ |( x= 14 +-7-

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $7m= 2+ 8k.$ Поскольку $2+ 8k= 7k+ k+2,$ то $k +2 =7n,$ тогда $k =7n− 2,m= 2-+8(7n-− 2) =8n− 2. 7$ Подставляя значение $n$ в решение второго уравнения, получаем

(8n-− 2)π π x= 4 = − 2 + 2πn, где n =0,±1,±2,...

Проверка показывает, что найденные значения $x$ удовлетворяют уравнениям системы.

Ответ:

$− π + 2πn, где n∈ℤ 2$