Задачи №23 из сборника И.В. Ященко —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83027

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $65∘$ и $85∘.$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 14.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 1

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠C = 180 − 65 − 85 =30 .

$OABCR3680∘5∘5∘$

Тогда по теореме синусов

-BC---= 2R. sin ∠A

Значит,

BC = 2R ⋅sin∠A = 2⋅14⋅sin30∘ = 1 = 2⋅14⋅2 =14.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95720

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $61∘$ и $89∘.$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 10.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 2

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠C = 180 − 61 − 89 =30 .

$OABCR3680∘1∘9∘$

Тогда по теореме синусов

-BC---= 2R. sin ∠A

Значит,

BC = 2R ⋅sin∠A = 2⋅10⋅sin30∘ = 1 = 2⋅10⋅2 =10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95628

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 12,$ $CK = 16.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 3

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 12.

$ABCDK1111222268$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$ и

AD = BC = BK + KC =12 +16 =28.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 12+ 28+ 12+ 28= 40+ 40= 80.

Ответ: 80

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95630

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 11,$ $CK = 20.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 4

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 11.

$ABCDK1112311101$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 11$ и

AD = BC = BK + KC =11 +20 =31.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 11+ 31+ 11+ 31= 42+ 42= 84.

Ответ: 84

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95527

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =16,$ $AC = 20,$ $NC = 15.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +15.

$ABCM121xN605$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC-- BC-- MN = BN 20 x+-15 16 = x 5 x+ 15 4 = --x-- 5x= 4⋅(x+ 15) 5x =4x +60 x= 60

Значит, $BN = 60.$

Ответ: 60

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95532

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =18,$ $AC = 42,$ $NC = 40.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 6

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +40.

$ABCM144xN820$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 42 = x+-40 18 x 7 x+-40 3 = x 7x= 3⋅(x+ 40) 7x= 3x+ 120 4x= 120 x= 30

Значит, $BN = 30.$

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95713

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =16,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 15 и 8.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 15$ и $OM = 8.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM88815$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 16-= 8. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 82+ 152 =64 +225= 289.

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 289 = 17.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 17 − 8 = 289− 64 = 225.

Тогда

CM = √225= 15.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅15= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57411

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =18,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 9.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 10

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 12$ и $OM = 9.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM99912$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 18-= 9. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH + OH (= 9 +)12 = =32 ⋅32+ 32⋅42 = 32⋅ 32+ 42 = 32⋅52.

Тогда

OB = OC = OD = OA = 3⋅5= 15.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM (= 15 −) 9 = =32 ⋅52− 32⋅32 = 32⋅ 52− 32 = 32⋅42.

Тогда

CM = 3⋅4 = 12.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅12= 24.

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47770

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите $AC,$ если диаметр окружности равен $3,6,$ а $AB = 8.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 11

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности, По условию $O$ лежит на $AC.$ Так как диаметр окружности равен 3,6, то радиус окружности равен $3,6-= 1,8. 2$

Проведём радиус $OB.$ Тогда

OB = OC = 1,8.

$ABCOx118,,88$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB ⊥AB.$ Тогда треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AO = AB +(BO = ) = 82+ 1,82 = 22⋅ 16+ 0,92 = = 22⋅16,81 = 22 ⋅4,12.

Значит,

AO = 2⋅4,1 = 8,2.

Тогда

AC = AO + OC = 8,2 +1,8= 10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83029

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =2,AC = 8.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 12

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 8− x.

$ABCD8−xx2$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 22 =8 ⋅(8 − x) 4= 64− 8x 8x =60 x = 7,5

Таким образом, диаметр окружности равен 7,5.

Ответ: 7,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42343

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $135∘,$ а $CD = 17.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 13

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK30B451D∘∘7$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√ - √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 17⋅-2= 17--2. 2 2

Высоты трапеции равны, поэтому

17√2 AH = CK = --2--.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

√- -AH--- 17-2- √- AB = sin 30∘ = 2 ⋅2= 17 2.

Ответ:

$√- 17 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#95701

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60∘$ и $150∘,$ а $CD = 33.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 14

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 150∘− 90∘ = 60∘.

$AHCK60B603D∘∘3$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

1 33 CK = CD ⋅cos60∘ = 33⋅2 = 2-.

Высоты трапеции равны, поэтому

AH = CK = 33. 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

AB = -AH---= -33√--= 11√3. sin60∘ 2⋅--3 2

Ответ:

$√- 11 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32025

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =15$ и $AC = 20.$

$ABCH12h2505$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 15 +20 = 5 ⋅3 + 5 ⋅4 = = 52⋅(32+ 42)= 52⋅52.

Тогда

BC = 5⋅5= 25.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 15-⋅20- 15⋅4 AH = BC = 25 = 5 = 12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#95556

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =10$ и $AC = 24.$

$ABCH12h2046$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 10 + 24 = 2 ⋅5 + 2 ⋅12 = =22 ⋅(52+ 122)= 22⋅132.

Тогда

BC =2 ⋅13= 26.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 10-⋅24 10⋅12 120- AH = BC = 26 = 13 = 13 .

Ответ:

$120 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42504

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 64$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 16.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅64 = 32. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 16 1 AO- = 32 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20622∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘, 120∘, 60∘, 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#95644

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 40$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 10.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅40 = 20. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 10 1 AO- = 20 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311440∘0∘20000∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42123

Точка $H$ является основанием высоты $BH,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH,$ если $P K = 12.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 19

Показать ответ и решение

Угол $PBK$ вписан в окружность, при этом по условию $∠P BK = 90∘,$ следовательно, он опирается на диаметр $PK.$

$ABCPKH$

По условию $BH$ — диаметр. Диаметры окружности равны, поэтому

BH = PK =12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#95728

Точка $H$ является основанием высоты $BH,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH,$ если $P K = 15.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 20

Показать ответ и решение

Угол $PBK$ вписан в окружность, при этом по условию $∠P BK = 90∘,$ следовательно, он опирается на диаметр $PK.$

$ABCPKH$

По условию $BH$ — диаметр. Диаметры окружности равны, поэтому

BH = PK =15.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#27827

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 35,$ $BC = 21,$ $CF :DF = 5:2.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 21

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 7 =1 + DF-= 1+ 2 = 2.

Таким образом,

OF = 2 ⋅BC = 2⋅21= 6. 7 7

$ABCDEOF52523262aabb515$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 2 = 7. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅35= 25. 7 7

Тогда

EF = EO + OF = 25+ 6= 31.

Ответ: 31

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#40304

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 48,$ $BC = 16,$ $CF :DF = 5:3.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 22

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 8 =1 + DF-= 1+ 3 = 3.

Таким образом,

OF = 3 ⋅BC = 3⋅16= 6. 8 8

$ABCDEOF53534163aabb860$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 3 = 8. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅48= 30. 8 8

Тогда

EF = EO + OF = 30+ 6= 36.

Ответ: 36

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

23.02 Задачи №23 из сборника И.В. Ященко