Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Неравенства и оптимизация на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#108624Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений выражения

----ac--- ab+ ac+bc

при условии, что $a,b$ и $c$ — положительные числа, удовлетворяющие неравенствам $a≤ b≤ c$ .

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем достаточно грубо оценить дробь сверху. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем уменьшить знаменатель и воспользоваться неравенством из условия.

Подсказка 3

Здорово, нашу дробь можно оценить сверху как a/(a+b). А как воспользоваться условием?

Подсказка 4

Докажем, что дробь может принимать любое значение в (0, 0.5). Для этого достаточно лишь явно выразить числа друг через друга, или, скажем, другую переменную t!

Показать ответ и решение

Так как $a,b$ и $c−$ положительные числа, то $--ac--> 0 ab+ac+bc$ . В то же время

ac ac a a 1 ab+-ac+bc < ac+-bc = a+-b ≤ a+-a = 2.

Покажем, что произвольное число $t$ из интервала $( ) 0;12$ входит в искомое множество.

При $0< t≤ 13$ равенство $ab+aacc+bc = t$ выполняется, если $a= 1t−2t,b= c= 1$ . Заметим, что так как $t≤ 13$ , то $a= 1−t2t ≤ 1$ .

При $13 ≤t< 12$ можно положить $a= b= 1,c = 1−t2t-$ . Легко проверить, что в этом случае $c= 1t−2t ≥1$ . Итак, искомое множество есть интервал $( ) 0;12$ .

Ответ:

$(0;1 ) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#97440Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c$ таких, что $0 <a,b,c< 1$ , выполнено следующее неравенство

√ --- ∘--------------- abc+ (1− a)(1− b)(1− c)< 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут три положительных числа, меньших единицы, что можно придумать?

Подсказка 2

Это намек на тригонометрическую замену! Доказать нам нужно что-то про квадратные корни, и у нас положительные числа, как лучше заменить a, b и с?

Подсказка 3

Пусть a = sin²x, b = sin²y, c = sin²z, все аргументы из первой четверти. Тогда неравенство превратилось в сумму произведений синусов и произведений косинусов. Почему это меньше 1?

Подсказка 4

Воспользуйтесь тем, что sin(z) < 1 и cos(z) < 1.

Показать доказательство

Сделаем замены:

2 2 2 π a =sin x, b= sin y, c= sin z, где 0< x,y,z < 2.

Тогда неравенство перепишется в виде:

sinxsin ysinz+ cosxcosycosz <1

sin xsinysinz +cosxcosycosz < sinxsin y+cosxcosy =cos(x − y)≤ 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания