Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.01 Задачи №11 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#137743Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= kx+ b.$ Найдите значение $f(5).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(0;1)$ и $(1;3).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

{ 1 = k⋅0+ b 3 = k⋅1+ b { 1 = b k = 3− b { b = 1 k = 3− 1 {b = 1 k = 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

y = 2x +1

Тогда имеем:

f(5)= 2⋅5+ 1 = = 10+ 1= 11

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#137746Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= kx+ b.$ Найдите значение $f(6).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(0;−1)$ и $(1;1).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

{ −1= k ⋅0+ b 1= k⋅1+ b { −1= b k = 1− b { b= −1 k = 1− (−1) {b = −1 k = 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

y = 2x − 1

Тогда имеем:

f(6)= 2⋅6− 1 = = 12− 1= 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#137750Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= kx+ b.$ Найдите значение $f(4).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

{ 1 = k⋅0+ b 3 = k⋅1+ b { 1 = b k = 3− b { b = 1 k = 3− 1 {b = 1 k = 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

y = 2x +1

Тогда имеем:

f(4)= 2⋅4+ 1 = = 8+ 1= 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#137790Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Пусть $y = k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x+ b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;2).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

{ 0= k1⋅0+ b1 2= k1⋅1+ b1 { 0= b1 { k1 = 2− b1 b1 = 0 k1 = 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

y = 2x

Вторая прямая проходит через точки $(0;4)$ и $(−4;0).$ Следовательно, получаем следующую систему:

{ 4 =k2 ⋅0 + b2 0 =k2 ⋅(− 4)+ b2 {4 =b 2 {4k2 = b2 b2 = 4 k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x+ 4

Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

{y0 =2x0 y0 =x0 +4 2x0 = x0+ 4 x0 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#21448Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+ bx +c.$ Найдите значение $f(−3).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем уравнение параболы в виде

f(x)= a(x− x1)(x − x2)

Здесь $x1,x2$ — точки пересечения с осью $Ox.$ Тогда имеем:

f(x)= a(x− 1)(x − 2)

Коэффициент $a$ можем найти, подставив точку $(0;2)$ графика в уравнение $f(x):$

2= a(0− 1)(0− 2) a =1

Тогда окончательно уравнение параболы имеет вид

f(x)= (x − 1)(x− 2)

Отсюда получаем

f(−3)= (−3− 1)(− 3− 2)= = (− 4)⋅(− 5)= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#35287Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(10).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(2;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(2)= 1 k = 1 2 k =2

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= 2 x

Найдем $f(10):$

2 f (10)= 10 = 0,2

Ответ: 0,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#137752Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(30).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(3;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(3)= 1 k = 1 3 k =3

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= 3 x

Найдем $f(30):$

3 f (30)= 30 = 0,1

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#137756Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(10).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(−2;2),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(−2)= 2 -k-= 2 − 2 k = −4

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= − 4 x

Найдем $f(10):$

4 f(10)= −10 = −0,4

Ответ: -0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#137758Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(20).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(2;2),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(2)= 2 k = 2 2 k =4

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= 4 x

Найдем $f(20):$

4 f (20)= 20 = 0,2

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#137760Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(10).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(−2;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(−2)= 1 -k-= 1 − 2 k = −2

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= − 2 x

Найдем $f(10):$

2 f(10)= −10 = −0,2

Ответ: -0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#137761Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= k. x$ Найдите значение $f(10).$

$110xy$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(1;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(1)= 1 k = 1 1 k =1

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= 1 x

Найдем $f(10):$

1 f (10)= 10 = 0,1

Ответ: 0,1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#71607Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)= ax2+ bx+ c$ и $g(x)= kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Начнем с уравнения параболы. Так как $f(0)= 0,$ то коэффициент $c= 0.$

Далее имеем:

{f (− 1) = 2 {f (2)= 2 a − b= 2 4a +2b =2 { a = b+ 2 {4(b+ 2)+ 2b= 2 a = b+ 2 6b =− 6 { a = b+ 2 b = −1 {a = 1 b = −1

Значит уравнение параболы умеет вид:

2 f(x)= x − x

Теперь найдем уравнение прямой.

Тогда имеем:

g(1) =3 3= k ⋅1 k =3

Значит уравнение прямой умеет вид:

g(x)= 3x

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

x2− x= 3x x2 = 4x x1 = 0, x2 = 4

Точка пересечения с координатой $x= 0$ уже изображена на рисунке (точка $A$ ), поэтому в ответ пойдет абсцисса $x = 4$ точки $B.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#137755Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Начнем с уравнения параболы. Так как $f(0)= 0,$ то коэффициент $c= 0.$

Далее имеем:

{f (3)= 0 { f(4)= 4 9a+ 3b = 0 16a +4b =4 { b= −3a { 16a − 12a = 4 b= −3a 4a= 4 { b= −3 a= 1

Значит уравнение параболы умеет вид:

f(x)= x2− 3x

Теперь найдем уравнение прямой.

Тогда имеем:

g(1) =3 3= k ⋅1 k =3

Значит уравнение прямой умеет вид:

g(x)= 3x

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

x2− 3x= 3x x2 = 6x x1 = 0, x2 = 6

Точка пересечения с координатой $x= 0$ уже изображена на рисунке (точка $A$ ), поэтому в ответ пойдет абсцисса $x = 6$ точки $B.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#137764Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Начнем с уравнения параболы. Так как $f(0)= 0,$ то коэффициент $c= 0.$

Далее имеем:

{f (4)= 0 { f(5)= 5 16a +4b =0 25a +5b =5 { b= −4a { 25a − 20a = 5 b= −4a 5a= 5 { b= −4 a= 1

Значит уравнение параболы умеет вид:

f(x)= x2− 4x

Теперь найдем уравнение прямой.

Тогда имеем:

g(1) =3 3= k ⋅1 k =3

Значит уравнение прямой умеет вид:

g(x)= 3x

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

x2− 4x= 3x x2 = 7x x1 = 0, x2 = 7

Точка пересечения с координатой $x= 0$ уже изображена на рисунке (точка $A$ ), поэтому в ответ пойдет абсцисса $x = 7$ точки $B.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#137767Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Начнем с уравнения параболы. Так как $f(0)= 0,$ то коэффициент $c= 0.$

Далее имеем:

{f (− 1) = 2 {f (2)= 2 a − b= 2 4a +2b =2 { a = b+ 2 {4(b+ 2)+ 2b= 2 a = b+ 2 6b =− 6 { a = b+ 2 b = −1 {a = 1 b = −1

Значит уравнение параболы умеет вид:

2 f(x)= x − x

Теперь найдем уравнение прямой.

Тогда имеем:

g(1) =4 4= k ⋅1 k =4

Значит уравнение прямой умеет вид:

g(x)= 4x

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

x2− x= 4x x2 = 5x x1 = 0, x2 = 5

Точка пересечения с координатой $x= 0$ уже изображена на рисунке (точка $A$ ), поэтому в ответ пойдет абсцисса $x = 5$ точки $B.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#71601Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)= a√x$ и $g(x)= kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

f(1)= a√1 =2 a =2 g(5)= k⋅5= 1 k = 0,2

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

2√x =0,2x √ - 10 x= x 100x= x2 x1 = 0, x2 = 100

Точку $A$ с абсциссой $x =0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x= 100.$

Ответ: 100

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#137762Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

f(1)= a√1 =2 a =2 g(3)= k⋅3= 1 1 k = 3

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

2√x-= 1x √- 3 6 x = x 2 36x = x x1 = 0, x2 =36

Точку $A$ с абсциссой $x =0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x= 36.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#137771Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций $f(x)= a√x$ и $g(x)= kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

f(1)= a√1 =3 a =3 g(2)= k⋅2= 1 k = 0,5

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

3√x =0,5x √- 6 x = x 36x = x2 x1 = 0, x2 =36

Точку $A$ с абсциссой $x =0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x= 36.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#137772Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

f(1)= a√1 =2 a =2 g(2)= k⋅2= 1 k = 0,5

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

2√x =0,5x √- 4 x = x 16x = x2 x1 = 0, x2 =16

Точку $A$ с абсциссой $x =0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x= 16.$

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#137773Максимум баллов за задание: 1

$110xyA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем значения параметра $a$ и $k :$

f(1)= a√1 =5 a =5 g(1)= k⋅1= 1 k =1

Чтобы найти точки пересечения, необходимо приравнять функции:

5√x = x 2 25x = x x1 = 0, x2 =25

Точку $A$ с абсциссой $x =0$ мы уже видим на рисунке, поэтому в ответ запишем корень $x= 25.$

Ответ: 25