Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Алгебраические текстовые задачи на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98020

Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов: $A,B$ и $C$ . Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида $A$ содержится $10%$ раствор этого вещества, в пробирках $B$ — 20 % раствор и в C — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости $20,17%$ раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида $C$ может быть при этом использовано?

Показать ответ и решение

Пусть пробирок вида $A,B$ и $C$ взяли соответственно $a,b$ и $c$ штук. По условию

0,1a +0,2b+ 0,9c= 0,2017(a+ b+ c)⇔ 1000(a+ 2b+ 9c)= 2017(a+ b+c)

Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы $a+ b+ c$ равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть докажем, что существуют неотрицательные целые числа $a,b$ и $c$ такие, что

(| a +b+ c= 1000 { a +2b+ 9c=2017 |( a ≤500,b≤500,c ≤500

Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим

a =7c− 17,b= 1017 − 8c

Подставив эти выражения в последние три неравенства системы, получим

7c≤ 517,8c≥518,c ≤500

Отсюда наибольшее значение $c$ равно 73. Ему соответствующие значения $a= 7c− 17,b= 1017− 8c$ удовлетворяют неравенствам системы. Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы доказана.