Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Классическая алгебра на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71961

Зафиксируем 10 натуральных чисел $n ,n ,...,n 1 2 10$ и обозначим через $n$ их сумму $n= n + ⋅⋅⋅+ 1$ $n . 10$ Предположим теперь, что на доске в строчку записаны $n$ чисел $a1,...,an,$ каждое из которых равно либо 0, либо 1. Эти числа (в том порядке как они записаны) разбивают на 10 групп:

a◟1,..◝.,◜an1◞,a◟n1+1,..◝.◜,an1+n2◞,...,a◟n1+⋅⋅⋅n9◝+◜1,...,an◞ n1 n2 n10

Группу назовем ненулевой, если в ней содержится хотя бы одна 1. В результате разбиения, в зависимости от того какие числа $a,...,a 1 n$ были взяты изначально, можно получить то или иное число ненулевых групп. Нас будут интересовать такие наборы $a ,...,a , 1 n$ которые при указанном разбиении дают четное число ненулевых групп. Докажите, что число таких наборов $a1,...,an$ (где ненулевых групп будет четно) находится по формуле:

n−1 1 n n n 2 +2 ⋅(2 1 − 2)⋅(2 2 − 2)⋅...⋅(210 − 2)

Источники: Межвед-2022, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать доказательство

Искомое число наборов посчитаем, суммируя количество наборов с заданным числом $k$ ненулевых групп:

При $k= 0$ такой набор единственный;
При $k= 2$ их $∑ ni nj 1≤i<j≤10(2 − 1)⋅(2 − 1);$
При $k= 4$ уже $∑ ni nj nl ns 1≤i<j<l<s≤10(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1);$
$...$
При $k= 10$ в итоге $(2n1 − 1)⋅(2n2 − 1)⋅...⋅(2n10 − 1).$

Определим многочлены

σ (x ,...,x )= 1 0 1 10

σk(x1,...,x10)= ∑ xi⋅...⋅xi ,1 ≤k ≤10 1≤i1<⋅⋅⋅<ik≤10 1 k

Как известно из правила раскрытия скобок, такая сумма всевозможных многочленов это сумма по всем наборам и она равна

∑ 0≤k≤10σk(x1,...,x10)= (x1+1)⋅...⋅(x10+ 1),

Если мы сложим эту сумму с суммой таких же многочленов от отрицательных аргументов, то многочлены с нечётными индексами взаимноуничтожатся:

∑ σk(x1,...,x10)+ ∑ σk (−x1,...,−x10) = 0≤k≤10 0≤k≤10

∑ = 2 . σk (x1,...,x10) 0≤k≤10,k..2

Используем полученные результаты:

∑ n n 2N = 2 ..σk (2 1 − 1,...,2 10 − 1)= 0≤k≤10,k .2

n1 n10 n1 n10 =(2 − 1 +1)⋅...⋅(2 − 1+1)+ (− (2 − 1)+1)⋅...⋅((−2 − 1)+ 1)

2N =2n1+...+n10 + (−2n1 + 2)⋅...⋅(−2n10 + 2)

что и требовалось:

N =2n−1+ 1⋅(2n1 − 2)⋅...⋅(2n10 − 2) 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95852

Вычислите с точностью до одной десятой значение выражения

∘ -----∘------√------- 86+41 86 +41 86+ ...

Источники: Межвед - 2021, 10.7 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Пусть

∘ -----∘------√------ F = 86 +41 86+ 41 86+ ...

Тогда $F$ является положительным корнем уравнения

F2 =86+ 41F

Отсюда находим $F = 43$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В официальных решениях на сайте олимпиады доказывается, почему выражение для $F$ определено и на самом деле является действительным числом через критерий существования предела у монотонной последовательности. Но тогда корректнее было бы переформулировать условие задачи (и в идеале ещё не давать задачу 9-классникам), а при данной формулировке получается, что достаточно показать невозможность другого значения, кроме как 43.

Ответ:

$43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95854

Пусть $A$ и $B$ — некоторые числовые множества, а множество $C ={a+ b|a∈ A,b∈B }$ представляет собой их сумму.

(То есть множество $C$ состоит из всевозможных сумм элементов множеств $A$ и $B$ . Если, например, $A = {0,1,2},B = {1,2}$ , то $C = {1,2,3,4}$ .)

Известно, что ${ 2828} C = 0,1,2,...,2$ , а максимальный элемент множества $A$ равен $√ - 2020 √ - 2020 ( 2+1) + ( 2− 1) .$

Докажите или опровергните следующие утверждения:

1) и множество $A$ , и множество $B$ содержат конечное число членов;

2) все элементы множеств $A$ и $B$ — целые числа;

3) минимальный элемент множества $B$ не превосходит числа $22828− 22525.$

Источники: Межвед - 2021, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

1) если множество $A$ или множество $B$ бесконечно, то и множество $C$ будет бесконечно, а это не так.

Поэтому можем обозначить через $a,b,c$ максимальные элементы этих множеств соответственно и заметить для решения п.3, что $a+ b= c$ .

Отдельно отметим, что такие множества существуют: например, $A= {0,...,a},B = {0,...,c− a}$ .

2) через разложение по биному доказывается, что $a$ целое. Тогда если бы $B$ содержало нецелые, то и $C$ содержало бы нецелые. Поэтому все элементы множества $B$ целые. Отсюда аналогично получаем, что все элементы множества $A$ целые.

3) из предыдущих пунктов понимаем, что неравенство $2828 2525 b≤ 2 − 2$ равносильно неравенству $2525 a≥ 2 .$ Докажем даже более слабое неравенство:

√- ( 2+ 1)2020 ≥22525

Для этого заметим, что $2020= 4⋅505,2525= 5⋅505$ , поэтому достаточно доказать $√- 4 5 (2 +1) ≥ 2.$

А по биному Ньютона получаем

√- √- √- ( 2+ 1)4 =4 +4⋅2 2 +6⋅2+ 4⋅ 2+ 1=

√ - 5 = 17+ 12 2> 17 +12⋅1.4= 33.8 >32= 2

требуемое.

Ответ: всё верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79623

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Мы знаем, что $√- 1.414213562< 2< 1.414213563$ . Давайте посчитаем приближения $√- x⋅ 2$ для маленьких $x$ и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что $√- 7.07106781< 5 2< 7.071067815$ . Теперь давайте посмотрим на $√- (5 2− 7)y$ и найдем такое $y$ , чтобы это число было близко к 1. Получим $√- 0.99494934< 14(5 2 − 7)< 0.99494941$ . Повторим эту операцию еще раз уже для $√- √ - 0.00505059< (1− 14(5 2− 7))t= (99− 70 2)t< 0.00505066t$ . Тогда при $t= 198$ мы получаем $√- 1 <198(99− 70 2)< 1.00003068$ . Значит, $√ - 0.999< 2− 198(99− 70 2)< 1$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $√- 2B2−A2 A+ B ⋅ 2= B√2−A-$ . Давайте найдем такие положительные $x$ и $y$ , что $2 2 |x − 2y |=1$ и $√- x+ y 2> 1000$ . Их можно таким способом. Начнем с $x =y =1$ . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим ( $x$ , $y$ ) на ( $x+2y$ и $x+ y$ ). Тогда $|(x+ 2y)2− 2(x +y)2|=|− x2− 2y2|=1$ и первое условие остается выполненным, а $√- x+ y 2$ увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных $x,y$ .