Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .09 Ломоносов 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Ломоносов до 2010

Ломоносов 2010

Ломоносов 2011

Ломоносов 2012

Ломоносов 2013

Ломоносов 2014

Ломоносов 2015

Ломоносов 2016

Ломоносов 2017

Ломоносов 2018

Ломоносов 2019

Ломоносов 2020

Ломоносов 2021

Ломоносов 2022

Ломоносов 2023

Ломоносов 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39646

Сколько диагоналей в правильном $32$ -угольнике не параллельны ни одной из сторон этого $32$ -угольника?

Источники: Ломоносов-2017, 9.3 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пронумеруем вершины, начиная с произвольной. Заметим, что диагональ параллельна какой-то стороне тогда и только тогда, когда номера вершин в ней имеют разную чётность. Действительно, из второго очевидно следует первое, достаточно рассмотреть операцию “сдвинем одну вершину по часовой, а другую — против”, такими операциями мы будем получать параллельные отрезки и попадём в сторону (при такой операции чётность не меняется и в итоге приходим к соседним вершинам, которые имеют разную чётность). Из этой же операции получаем следствие в обратную сторону, поскольку такие операции сходятся в точку.

Нам нужно найти число непараллельных сторонам диагоналей. Так что задача сводится к поиску числа пар вершин одинаковой чётности. Число способов выбрать две вершины с чётными номерами $2 C16,$ аналогично с нечётными. Получаем всего $16⋅15 =240$ диагоналей.

Второе решение.

Всего в $32$ -угольнике

32⋅ (32−2-3)= 464

диагоналей. Разобьем стороны на $16$ пар параллельных сторон. Несложно заметить, что если зафиксировать какую-то пару ( $4$ вершины), то оставшиеся вершины можно соединить попарно диагоналями, параллельными этой паре. Их всего будет $(32−24)= 14.$ Значит, диагоналей, параллельных какой-то стороне $− 14⋅16=224.$ А непараллельных $464− 224 =240.$

Ответ:

$240$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48591

Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?

Источники: Ломоносов-2017, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что нам подойдёт набор ${2016,2017,...4032}$ , в которым максимальным будет $4032$ . Пусть нам удалось найти какой-то меньший ответ $A≤ 4031$ . Поделим числа на пары $(1,A− 1),(2,A − 2),...$ . Таких пар будет не более $4031 ⌊ 2 ⌋= 2015$ (пара $(A∕2,A∕2)$ нас тоже устроит), при этом в парах учтены все элементы, меньшие $A$ . Из каждой пары мы можем взять не более одного элемента, откуда с учётом $A$ чисел не больше $2016$ . Значит, $A ≥ 4032$ .

Ответ:

$4032$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90889

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$ , он тратит $25%$ времени на путь в гору, $60%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Показать ответ и решение

Пусть скорость с горы в $x$ раз больше, чем скорость в гору. Тогда

25 15+ 25= x-+ 15x

15x2− 40x+ 25= 0

5(x− 1)(3x − 5)= 0

$x> 1,$ так что $x= 5. 3$

Ответ:

$5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91248

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $A$ и $C,$ пересекаются на прямой $BD.$ Найдите $AD$ , если $AB = 2$ и $BC :CD = 4:5.$

Показать ответ и решение

Пусть касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точки $P.$

$PIC$

По свойству касательной получаем, что $∠PAB = ∠ADP$ и $∠PCB = ∠CDP.$ Следовательно, будет две пары подобных треугольников: $P AB$ и $ADP,$ $PCD$ и $CDP.$ Тогда из подобия получаем

AD PB DC PD AB- = AP- и BC-= CP-

Заметим, что $AP = CP,$ как касательные из одной точки, значит,

AD-= DC- AB BC

AD = AB ⋅ DC-= 2⋅ 5 = 5 BC 4 2

Замечание. Такие четырёхугольники как $ABCD,$ т.е. для которых верно, что произведения противолежащих сторон равны, называются гармоническими.

Ответ:

$5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100459

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#102397

Вычислите $√n +√n-+-524-$ , если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

Показать ответ и решение

Пусть искомое число равно $a$ . Имеем

√------ √ - 2 √- n+ 524= a− n, n+ 524= a − 2a n +n

По условию $a$ рационально, поэтому и $√n$ рационально. Значит, $n =k2,k∈ ℕ$ . Тогда число $√n-+-524-$ тоже рационально, поэтому $n +524= m2,m ∈ℕ$ . Значит,

2 2 m − k = 524, (m − k)(m+ k)= 4⋅131

Заметим, что числа $m− k$ и $m +k$ одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, $m − k= 2$ и $m+ k= 2⋅131$ . Оба равенства выполнены при $m = 132,k= 130$ . Итак, $a= m + k= 262$ .

Ответ: 262

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#106011

Про функцию $y =f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом $5,$ а также что $f(−1)= f(2)= −1.$ Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)= 0$ на отрезке $[1755;2017]?$

Показать ответ и решение

Поскольку функцня $f$ нечётна и определена в нуле, получаем

f(0)= −f(0)⇒ f(0)= 0

В силу 5-периодичности тогда имеем $f(5)= f(0)= 0$ . Используем ещё раз нечётность: $f(1)= −f(−1)= 1$ , и опять в силу 5-периодичности $f(3)=f(−2)= 1$ и $f(4)= f(− 1) =− 1.$

Итак, в точках $1,2,3$ и 4 значения функции равны соответственно $1,− 1,1$ и $− 1.$ Значит, на каждом из трёх интервалов между этими точками есть не менее одного нуля функции $f$ .

Итого на периоде $[0;5)$ у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке $[1755;2015)$ период помещается 52 раза (на нём не менее $52 ⋅4 =208$ нулей), плюс нуль в точке $2015$ и хотя бы один на интервале $(2016;2017).$ Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже возможно).

Ответ: 210

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема