Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .09 Ломоносов 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39646Максимум баллов за задание: 7

Сколько диагоналей в правильном $32$ -угольнике не параллельны ни одной из сторон этого $32$ -угольника?

Источники: Ломоносов-2017, 9.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем посчитать эти диагонали через разность, общее количество минус количество параллельных хоть какой-то стороне. То что мы вычитаем, считать немного проще, чем то что дано нам изначально. Сколько же у нас всего диагоналей?

Подсказка 2

Верно, всего 32 вершины и после выбора одной 3 уже выбрать нельзя(эту и две соседние), поэтому 32*29/2, так как посчитали по два раза одну и ту же диагональ(выбрав одну точку, а потом у этой диагонали точку напротив). Что же теперь с "параллельными" диагоналями. А сколько у нас всего пар параллельных сторон? Выбрав какую-то из них, сколько будет параллельных диагоналей именно им?

Подсказка 3

Ага, пар 16, и, выбрав какую-то из них, остаётся ещё 28 точек, которые мы можем соединить попарно. Итого 14 диагоналей для одной пары. Осталось только умножить это на количество пар и дорешать задачу.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пронумеруем вершины, начиная с произвольной. Заметим, что диагональ параллельна какой-то стороне тогда и только тогда, когда номера вершин в ней имеют разную чётность. Действительно, из второго очевидно следует первое, достаточно рассмотреть операцию “сдвинем одну вершину по часовой, а другую — против”, такими операциями мы будем получать параллельные отрезки и попадём в сторону (при такой операции чётность не меняется и в итоге приходим к соседним вершинам, которые имеют разную чётность). Из этой же операции получаем следствие в обратную сторону, поскольку такие операции сходятся в точку.

Нам нужно найти число непараллельных сторонам диагоналей. Так что задача сводится к поиску числа пар вершин одинаковой чётности. Число способов выбрать две вершины с чётными номерами $2 C16,$ аналогично с нечётными. Получаем всего $16⋅15 =240$ диагоналей.

Второе решение.

Всего в $32$ -угольнике

32⋅ (32−2-3)= 464

диагоналей. Разобьем стороны на $16$ пар параллельных сторон. Несложно заметить, что если зафиксировать какую-то пару ( $4$ вершины), то оставшиеся вершины можно соединить попарно диагоналями, параллельными этой паре. Их всего будет $(32−24)= 14.$ Значит, диагоналей, параллельных какой-то стороне $− 14⋅16=224.$ А непараллельных $464− 224 =240.$

Ответ:

$240$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48591Максимум баллов за задание: 7

Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?

Источники: Ломоносов-2017, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вообще в любой задаче на оценку+пример, если сразу не видно решения, стоит попробовать найти какой-то приятный(по тем или иным причинам) пример, который является достаточно оптимальным и при этом понятно как его строить. Попробуйте покрутить задачу и построить понятный пример, основываясь на том, что может выйти такая ситуация, что сумма двух минимальных больше максимального.

Подсказка 2

Существует такой пример(который основывается на идее пред. подсказки): {2016,2017,….,4032}. Он, очевидно, подходит. Осталось доказать оценку на 4032. В предыдущем пункте мы взяли именно наибольшее число. Во-первых, потому что оно понятное, то есть это не какое-то там число, которое не понятно где стоит, а самое наибольшее. Во-вторых, как-будто именно с ним и может быть больше всего проблем, так как именно его можно получить наибольшим кол-вом способов и именно оно дает нам больше всего запретов на некоторые пары чисел в наборе.

Подсказка 3

Думается, нужно попробовать как-то разбить на пары , в соответствии с максимальным числом набора, остальные числа, и получить желаемую оценку. Вот если у нас число максимальное 2023 , к примеру, то можем ли мы взять 1 и 2022 , оба числа? А допустим 4 и 2019? 1022 и 1001? Видите закономерность? А если наибольшее число - это А?

Подсказка 4

Да! Если наибольшее число-это А, то мы не можем одновременно взять x и A-x! Значит нужно при доказательстве оценки разбивать числа на пары вида x и A-x. Из каждой пары тогда можно взять не больше одного(и это мы используем только противоречие с наибольшим числом, а в теории два каких-то числа в сумме могут дать не наибольшее). Попробуйте построить на этом доказательство оценки(напомню, что вы хотите доказать, что А>=4032, то есть предполагать нужно обратное).

Показать ответ и решение

Заметим, что нам подойдёт набор ${2016,2017,...4032}$ , в которым максимальным будет $4032$ . Пусть нам удалось найти какой-то меньший ответ $A≤ 4031$ . Поделим числа на пары $(1,A− 1),(2,A − 2),...$ . Таких пар будет не более $4031 ⌊ 2 ⌋= 2015$ (пара $(A∕2,A∕2)$ нас тоже устроит), при этом в парах учтены все элементы, меньшие $A$ . Из каждой пары мы можем взять не более одного элемента, откуда с учётом $A$ чисел не больше $2016$ . Значит, $A ≥ 4032$ .

Ответ:

$4032$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90889Максимум баллов за задание: 7

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$ , он тратит $25%$ времени на путь в гору, $60%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте за x обозначим то, во сколько одна скорость больше другой. Учтём, что путь по равнине абсолютно одинаков в обе стороны, т.е. мы его вообще можем не учитывать, запишем тогда уравнение по условию задачи.

Подсказка 2

Ага, у нас получилось квадратное уравнение с двумя корнями. Какой же корень подходит? Воспользуйтесь условием, что скорости автомобиля в гору и с горы различные, и у вас останется только один возможный вариант.

Показать ответ и решение

Пусть скорость с горы в $x$ раз больше, чем скорость в гору. Тогда

25 15+ 25= x-+ 15x

15x2− 40x+ 25= 0

5(x− 1)(3x − 5)= 0

$x> 1,$ так что $x= 5. 3$

Ответ:

$5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91248Максимум баллов за задание: 7

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $A$ и $C,$ пересекаются на прямой $BD.$ Найдите $AD$ , если $AB = 2$ и $BC :CD = 4:5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А Вы случайно не знаете, что такое гармонический четырёхугольник? Если знаете, то задачка становится устной, однако если не знаете, не спешите расстраиваться! Подумайте про подобные треугольники на данной картинке.

Подсказка 2

Действительно, не так сложно догадаться, что △PAB ∼ △PDA, а также △PCB ∼ △PDC, затем надо применить теорему об отрезках касательных, проведённых из одной точки и аккуратно расписать отношения сторон, следующие из подобия.

Показать ответ и решение

Пусть касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точки $P.$

$PIC$

По свойству касательной получаем, что $∠PAB = ∠ADP$ и $∠PCB = ∠CDP.$ Следовательно, будет две пары подобных треугольников: $P AB$ и $ADP,$ $PCD$ и $CDP.$ Тогда из подобия получаем

AD PB DC PD AB- = AP- и BC-= CP-

Заметим, что $AP = CP,$ как касательные из одной точки, значит,

AD-= DC- AB BC

AD = AB ⋅ DC-= 2⋅ 5 = 5 BC 4 2

Замечание. Такие четырёхугольники как $ABCD,$ т.е. для которых верно, что произведения противолежащих сторон равны, называются гармоническими.

Ответ:

$5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100459Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на первое утверждение, как обычно решаются подобные задачи?

Подсказка 2

Например, можно изобразить графики, и если найдутся 2 точки пересечения, то будет как раз 2 корня. Попробуйте проанализировать поведение функции в левой части.

Подсказка 3

Заметим, что cos(cos(x)) + sin(sin(x)) возрастает на промежутке [0;π/2] и убывает на промежутке [π/2;π]. Следовательно, единственное решение функция будет иметь только в точке π/2.

Подсказка 4

Левая часть во втором условии отдаленно напоминает квадратное уравнение, попробуйте сделать замену.

Подсказка 5

Пусть t = sin(2x).

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#102397Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $√n +√n-+-524-$ , если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мда, так себе условие... Как бы нам из него что-то достать интересное. Возвести в квадрат, получить произведение двух корней — плохо. Надо как-то по отдельности их что-ли в квадрат возвести. Как бы это сделать? Может что-то обозначить...

Подсказка 2

Так и сделаем. Пусть √n + √(n+254) = a. Тогда √(n+254) = a - √n. Вот щас уже можно что-то сделать...

Подсказка 3:

Возведём в квадрат. Получим, что n + 254 = a² + n - 2a√n. Мы знаем, что a — рационально по условию, n — натурально. Какой вывод можно сделать из этого?

Подсказка 4:

Докажите, что √n — натурально. В каком виде тогда можно представить числа n и n+254?

Подсказка 5:

Верно! n = k², n + 254 = m², где n, m ∈ N. Осталось вспомнить формулу разности квадратов и понять, что 524 = 131 * 4 = 2*2*131 — разложили на простые. С помощью этого дорешайте задачу, опираясь на натуральность множителей)

Показать ответ и решение

Пусть искомое число равно $a$ . Имеем

√------ √ - 2 √- n+ 524= a− n, n+ 524= a − 2a n +n

По условию $a$ рационально, поэтому и $√n$ рационально. Значит, $n =k2,k∈ ℕ$ . Тогда число $√n-+-524-$ тоже рационально, поэтому $n +524= m2,m ∈ℕ$ . Значит,

2 2 m − k = 524, (m − k)(m+ k)= 4⋅131

Заметим, что числа $m− k$ и $m +k$ одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, $m − k= 2$ и $m+ k= 2⋅131$ . Оба равенства выполнены при $m = 132,k= 130$ . Итак, $a= m + k= 262$ .

Ответ: 262

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#106011Максимум баллов за задание: 7

Про функцию $y =f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом $5,$ а также что $f(−1)= f(2)= −1.$ Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)= 0$ на отрезке $[1755;2017]?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как функция периодична, то можем найти количество её нулей на периоде и сделать выводы о количестве нулей на всем отрезке из условия. Как мы можем это сделать?

Подсказка 2

Рассматриваем значения функции на [0, 5). Как здесь оценить количество нулей?

Подсказка 3

Для начала найдем значения функции в точках 0, 1, 2, 3, 4, пользуясь положениями из условия. Какие выводы из найденных значений можно сделать?

Подсказка 4

Так как теперь знаем значения функции в этих точках, то из непрерывности функции можем оценить снизу количество нулей на рассматриваемом полуинтервале. Достижима ли эта оценка?

Подсказка 5

Теперь, зная количество нулей на периоде, хотим посчитать, сколько раз этот период помещается в отрезок из условия и рассмотреть не попавшие в период значения на предмет наличия нулей там. Почитаем с учётом всего этого итоговое количество нулей!

Показать ответ и решение

Поскольку функцня $f$ нечётна и определена в нуле, получаем

f(0)= −f(0)⇒ f(0)= 0

В силу 5-периодичности тогда имеем $f(5)= f(0)= 0$ . Используем ещё раз нечётность: $f(1)= −f(−1)= 1$ , и опять в силу 5-периодичности $f(3)=f(−2)= 1$ и $f(4)= f(− 1) =− 1.$

Итак, в точках $1,2,3$ и 4 значения функции равны соответственно $1,− 1,1$ и $− 1.$ Значит, на каждом из трёх интервалов между этими точками есть не менее одного нуля функции $f$ .

Итого на периоде $[0;5)$ у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке $[1755;2015)$ период помещается 52 раза (на нём не менее $52 ⋅4 =208$ нулей), плюс нуль в точке $2015$ и хотя бы один на интервале $(2016;2017).$ Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже возможно).

Ответ: 210

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема