Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .08 Ломоносов 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37483Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016,$ чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое выбранное?

Источники: Ломоносов-2016, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте обратим внимание на то, что все числа нечетные! И если одно из них делится на другое, что эти два условия значат в сумме? Какой минимум может получиться в отношении этих двух чисел?

Подсказка 2!

2) Отлично, 2 не может быть, значит это будет 3. Теперь заметим, что числа образуют своеобразные цепочки... 17, 17*3, 17*3*3..... Что мы можем о них сказать?

Подсказка 3!

3) Верно, они не пересекаются! Осталось сделать оценку.... И построить пример!

Показать ответ и решение

В качестве примера рассмотрим все нечетные числа из множества $A = {673,675,...2015},$ всего этих чисел $672.$ Если какое-то делится на другое, то оно хотя бы в три раза больше, поскольку числа нечётны, но $2015∕673< 3,$ то есть такого быть не может. Теперь покажем, что каждому числу соответствует своя цепочка делителей из множества $B ={1,...671},$ что их частное равно степени тройки. Отсюда сразу же будет следовать, что цепочки не пересекаются, и если нам удастся показать, что все числа бьются на эти цепочки, то больше $672$ выбрать нельзя — ведь тогда мы взяли хотя бы два числа из одной цепочки и одно кратно другому. Итак, достаточно показать, что для произвольного числа из множества $B$ найдётся такое число из $A,$ что их отношение будет равно степени $3.$ Выберем это произвольное число $x$ и будем умножать его на $3,$ пока $k x⋅3 ≤671,$ в какой-то момент мы получим $m x⋅3 >671,$ но $m−1 m x ⋅3 ≤671 =⇒ x⋅3 ≤ 3⋅671 =2013∈ A.$ Тогда $m−1 3 ⋅x∈ B,$ поскольку оно нечётно и при этом $m 671< x⋅3 ≤2013,$ что и требовалось.

Ответ:

$672$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48594Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( )( ( 7) ) logπ6 (2x− 5)− logπ6(7 − 2x) cos x+ 4 − cos(2x − 1) (|x − 4|− |2x− 5|)≥ 0.

Источники: Ломоносов-2016, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Найдем ОДЗ и разберемся с каждой скобкой по очереди, начнем с логарифмов. Вспомним, что log_a(b) - log_a(c) на ОДЗ имеет такой же знак, что и выражение (а-1)(b-с). А чему оно равно?

Подсказка 2

Оно просто равно 12-4x, просто напишем это выражение вместо скобки с логарифмами. Перейдем к модулям. Заметили ли Вы, что в связи с ОДЗ они раскрываются однозначно? Причем скобка с модулями и 12-4х имеют общий множитель.

Подсказка 3

У нас получается (х-3)^2 * (скобка с косинусами). Замечаем, что тройка - корень, а иначе скобку второй степени можно убрать. Найдем, в каких точках скобка с косинусами обнуляется (разность косинусов - была какая-то формулка), и сопоставим это с ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 2x− 5> 0 7− 2x> 0

5 7 x∈ (2;2)

На ОДЗ $(|x− 4|− |2x− 5|)= (4 − x)− (2x − 5)= 9− 3x,$ а по формуле разности косинусов

( ( 7) ) ( 12x +3) ( −4x+ 11) cos x+ 4 − cos(2x− 1) = −2sin --8--- sin --8----

По методу рационализации знак $( ) logπ6(2x − 5)− logπ6(7− 2x)$ на ОДЗ совпадает со знаком $( ) π6 − 1 (2x− 5− (7− 2x))= 46(π− 6)(x − 3)$

В итоге получаем неравенство

( ) ( ) − sin 12x+-3 sin −4x+-11 (x− 3)(π − 6)(x− 3)≥ 0 8 8

( ) ( ) sin 12x+-3- sin −4x-+11 (x− 3)2 ≥0 8 8

На ОДЗ

12x-+3-∈( 6⋅5+3;6-⋅7-+3) ∈(4;6)∈ (π;2π), 8 8 8

поэтому $(12x+3) sin 8 < 0.$

Учтём решение $x = 3,$ сразу запишем в ответ. Остаётся неравенство

( −4x+ 11) sin ---8--- ≥ 0

На ОДЗ

( ) ( ) −-4x-+11 ∈ −7⋅2+-11;−-5⋅2+11 ∈(−1;1)∈ − π;π , 8 8 8 2 2

поэтому неравенство равносильно

−4x+-11- 11- 0 ≤ 8 ⇐ ⇒ x ≤ 4

Ответ:

$(5;11]∪{3} 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76408Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ точки $A ,B ,C − 1 1 1$ середины сторон $BC,AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$ , если известно, что сумма векторов

−−→ −−→ −−→ 3⋅AA1+ 4⋅BB1+ 5⋅CC1

равна вектору с координатами $(2,1).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самое главное в этой задаче — это удобно ввести обозначения. Пусть середина каждого из отрезков равна a, b, c. Но надо правильно выбрать направления. Почему треугольник в данном случае очень полезен?

Подсказка 2

Верно, если задать все направления по часовой стрелке, то просто сумма 2a+2b+2c=0, так как мы вернулись в начальную точку треугольника. А теперь нужно подставить в формулу из условия выражения через наши векторы. Попробуйте это сделать. Хорошо бы было получить в итоге просто один вектор, так как теперь нам будут известны его координаты. Но через какой удобнее всего будет выразить?

Подсказка 3

Да, вспомним в принципе условие задачи. Нам нужно найти длину стороны, а значит, через этот вектор и будет удобно выразить всю сумму(например, если AC = |2b|, то через b). Осталось только вспомнить, что через координаты вектора можно найти его длину, и победа!

Показать ответ и решение

Обозначив

−−→ ⃗ −→ −→ 2⃗a= BC, 2b= CA и 2⃗c= AB,

$PIC$

получаем

−→ 2⃗a+ 2⃗b+2⃗c= 0

−→ −−→ −−→ (2,1)= 3⋅AA1+ 4⋅BB1 +5 ⋅CC1 = 3(2⃗c+ ⃗a)+4(2⃗a +⃗b)+ 5(2⃗b+⃗c)=

⃗ ⃗ ⃗ =4(2⃗a+ 2b+ 2⃗c)+4(⃗a+b +⃗c)− (2⃗c+⃗a)+ (2b +⃗c)=

=−→0 + −→0 − (⃗a+ ⃗b+ ⃗c)+ 3⃗b= 3⃗b⇒

| | | | √-2--2- √- ⇒ AC = |2⃗b|= |||2⋅3⃗b|||=|||2 ⋅(2;1)|||= 2-2-+-1-= 2-5 3 3 3 3

Ответ:

$2√5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91392Максимум баллов за задание: 7

Найдите все трёхзначные числа $LOM--$ , состоящие из различных цифр $L,O$ и $M$ , для которых выполняется равенство

----- 2 LOM = (L +O +M ) + L+ O+ M

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перебирать все возможные комбинации 3 цифр будет долго, какую замену можно сделать?

Подсказка 2

Пусть x = L + O + M. Тогда искомое число имеет вид x(x+1). Оцените x.

Подсказка 3

Получим, что x ∈ [10;24]. А как еще можно сократить перебор? Попробуйте проанализировать делимость.

Показать ответ и решение

Обозначим $x= L +O +M.$ Тогда $LOM--=x(x+ 1).$ При этом $x≥ 10$ (иначе $x(x+ 1)< 100$ ) и $x ≤24$ (сумма цифр не превышает $9+ 8+ 7= 24$ ). Из соотношения $2 100⋅L+ 10⋅O+ M = x +L +O + M$ следует, что $2 x = 99⋅L +9 ⋅O$ , т. е. $x$ делится на 3. Осталось подставить значения $12,15,18,21$ и 24 в $x(x+ 1)$ и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с $x$ только при $x= 12.$

Ответ: 156

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100194Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение всех значений $x$ , при каждом из которых

∘ --√---x2−9x+11 x2−9x+11 ∘---√-- x2−9x+11 ( 4− 11) , 2 , ( 4+ 11) —арифметическая прогрессия.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-так, на первый взгляд это что-то очень страшное. Но давайте сделаем логичные первоначальные действия, которые сильно упростят задачу: заменим квадратный трёхчлен с x на
α(x), а также заметим что сумма двух подкоренных выражений слева равна 2. Также очевидно, что необходимо записать критерий арифметической прогрессии для трёх чисел (так с ней наиболее удобно работать).

Подсказка 2

Что же делать теперь? Ну да, конечно, рассмотрим функцию f(t) = t^a, где а - какой-то параметр, а t > 0. Если a ≠ 0 и a ≠ 1, то функция строго выпукла. В этот момент подумайте про неравенство Йенсена!

Подсказка 3

Да-Да, почти очевидно, что равенство может достигаться только тогда, когда a = 0 или a = 1. Запишем тогда два квадратных уравнения и по теореме Виета найдём произведение их корней.

Показать ответ и решение

Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:

∘ --√---x2− 9x+11 ∘ ---√--x2−9x+11 2 (--4−--11)-------+2-(-4+--11)------ =2x −9x+11

Заметим, что

4− √11-+4 +√11-=2⋅22.

Тогда после замены $√ -- √ -- t1 = 4− 11,t2 = 4+ 11,$ получаем

a(x) a(x) ( )a(x) t1---+t2--= t1+-t2 2 2 ,

где

x2− 9x+ 11 a(x)= ----2-----.

Рассмотрим функцию $f(t)=ta$ при $t>0.$

Если $a⁄= 0$ и $a⁄= 1,$ то её вторая производная

f′′(t)= a(a − 1)ta−2

ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство

( ) f(t1)+2f(t2)= f t1+2t2

возможно только при $t1 = t2,$ но в нашем случае $t1 = 4− √11⁄= 4+ √11= t2.$

Поэтому $a =0$ или $a= 1,$ то есть

[ x2− 9x +11= 0 x2− 9x +11= 2

Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.

Ответ: 99

Предыдущая подтема

Следующая подтема