Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .10 Ломоносов 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40272Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение функции

(π ) f(x)= sin(x +sinx)+ sin(x− sinx)+ 2 − 2 sinsinx.

Источники: Ломоносов-2018, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Брать сразу у такой функции производную вообще не хочется... Давайте сначала попробуем преобразовать. Видим сумму двух синусов. Тогда попробуйте применить нужную формулу к ним и посмотреть, что получится. Не можем ли мы упростить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, после применения формулы для суммы синусов везде будет sin(x), который мы можем заменить на t, учитывая ограничение синуса. Стало точно поприятнее, теперь можем брать производную и искать критические точки. Что самое главное нам не забыть, когда мы ищем максимум функции на отрезке?

Подсказка 3

Точно, надо не забыть проверить концы отрезка. Осталось только сравнить значение функции в этих точках, и победа!

Показать ответ и решение

По формуле суммы синусов

sin(x+ sinx)+ sin(x − sin x)=2sin xcos(sinx)

Пусть $t=sin x$ . Поиск максимума $f(x)$ на всей числовой прямой после замены сводится к поиску максимума функции $g(t)= 2tcost+ (π− 2)sin t 2$ на отрезке $[−1;1]$ . Возьмём её производную

′ ( π ) π ( 4 ) g(t)= 2cost− 2tsint+ 2 − 2 cost= 2 sint ctg t−π t

Критические точки — $π t= ±4$ , $t= 0$ . После расстановки знаков производной на $[− 1;1]$ получаем, что максимум может достигаться на конце отрезка $t= −1$ или в точке локального максимума $π t= 4$ . Сравним значения функции в этих точках:

( ) g(−1)= −2cos1+ 2− π2 sin1 <0< g(π∕4)= π√− 2 2

Действительно, в силу $1< π3 =⇒ −2cos1< −2cos π3 = −2⋅ 12 =− 1$ , тогда

g(−1)< −1+ 2− π <0 2

а максимальное значение равно $g(π ) 4$ , соответственно наибольшее значения $f(x)$ достигается при $sinx = π 4$ .

Ответ:

$π−√2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46041Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC,$ площадь которого равна $20,$ проведена медиана $CD.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если известно, что $√-- AC = 41,$ а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD,$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD.$

Источники: Ломоносов-2018, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала обозначим центр вписанной окружности △ACD как точку I. Тогда по условию BDIC — вписанный. Можем ли мы что-то сказать про углы BDIC? Например, угол DIC образован биссектрисами, он должен хорошо считаться через углы △ABC.

Подсказка 2

Конечно, он равен 90 + ∠A/2 (это несложно доказывается через сумму углов треугольника). Тогда, пользуясь свойством вписанного ч/у мы можем посчитать ∠B, он будет равен 90 - ∠A/2. Посчитаем для интереса оставшийся ∠C. Может быть, сможем что-нибудь сказать про △ABC.

Подсказка 3

Опа, а ведь ∠B = ∠C. Тогда △ABC равнобедренный. Это уже здорово! Ведь мы можем найти радиус описанной окружности по теореме синусов, а раз теперь имеем равнобедренный треугольник, то сможем скорей всего посчитать синус какого-нибудь угла! Тогда логичный ход — опустить высоту AH, H будет серединой BC. А теперь можно и составить кое-какие уравнения!

Подсказка 4

Первое уравнение, конечно, будет на площадь △ABC. А второе — теорема Пифагора для △AHB. Из получившейся системы найдём синус ∠B, задача решена! Не волнуйтесь, что получилось два ответа, так и должно быть)

Показать ответ и решение

Пусть $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$ . Тогда $AQ$ и $CQ$ — биссектрисы углов $DAC$ и $ACD$ соответственно, а по свойству вписанных углов имеем $∠DBQ = ∠DCQ$ . Значит, треугольники $ABQ$ и $ACQ$ равны (по стороне и двум углам), поэтому $AB = AC$ , т.е. треугольник $ABC$ равнобедренный.

$PIC$

Обозначив $BC = 2x$ , из условия на площадь треугольника $ABC$ получаем

x⋅∘41-− x2-=20

x4− (16+ 25)x2+ 42⋅52 =0

$x= 4$ или $x =5$ , причём оба найденных значения $x$ реализуются в условиях задачи: одно $(x= 4)$ получается для острого угла $BQC$ , а другое $(x= 5)$ — для тупого. Подставляя их в формулу для искомого радиуса описанной около треугольника $ABC$ окружности

√-- √-- R= AB-⋅AC-⋅BC- = -41⋅-41⋅2x= 41x, 4S 4⋅20 40

получаем два возможных ответа: $R = 4110-$ и $R = 481$ .

Ответ:

$41 8$ или $41 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47039Максимум баллов за задание: 7

На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки

5 8 3 6 x < y <y < x ,

лежит число $0?$

Источники: Ломоносов-2018, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется для начала разобраться со знаком (и даже интервалом значений) какой-то из переменных. Какое неравенство для этого лучше всего взять из условия?

Подсказка 2

Верно, это y⁸<y³, откуда несложно понять, что y∈(0;1). Вы можете попробовать взять неравенство для пятой и шестой степени x, но там конкретики не получится. Что же делать с x?

Подсказка 3

Просто разберите 2 случая: x<0 и x>0. Тогда, посмотрев на знаки неравенств, можно сделать выводы и решить задачу!

Показать ответ и решение

Из неравенства для $y$ получаем, что

3 8 3 5 y > y ⇐ ⇒ y(1− y )>0 ⇒ y ∈ (0, 1)

Далее всё зависит от знака $x.$

Если $x> 0,$ тогда т.к. $x6 > y3 > x5,$ $x> 1$ и $y > 1.$ Но при таком условии $y8 > y3,$ так что этот случай невозможен.

Если $x< 0,$ то ответом может быть только $(x5, y8).$ Осталось привести пример, вполне подойдёт $x= −1, y = 1. 2$

Ответ:

$(x5, y8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#78229Максимум баллов за задание: 7

Архив фотографий укладывают в порядке их нумерации в одинаковые альбомы, ровно по 4 фотографии на одну страницу. При этом 81-я по счёту фотография попала на 5-ю страницу одного из альбомов, 171-я — на 3-ю страницу другого. Сколько фотографий вмещает каждый альбом?

Источники: Ломоносов - 2018. 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сложность нам добавляет то, что мы не знаем сколько альбомов и под какими номерами эти альбомы. Давайте обозначим их за x и y. x < y., а кол-во страниц на них за n. Каким условием можно задать то, что фотография с таким-то номером попала в альбом с номером x? А на такую-то страницу альбома x?

Подсказка 2

Это значит, что все предыдущие альбомы уже заполнены, а в этом альбоме - все предыдущие страницы уже заполнены. Но еще это значит, что номер этой фотографии точно не больше, чем кол-во фотографий в предыдущих альбомах и на этой странице! Как это записать алгебраически?

Подсказка 3

Вот пример условия для 81ой фотографии: 4n(x-1) + 4*(5-1) < 81 ≤ 4n(x-1) + 4*5. Запишите эти неравенства и дальше дорешайте задачку)

Показать ответ и решение

Пусть $x,y$ — номера альбомов, в которые попали $81−$ я и $171−$ я фотографии соответственно, $n >4$ — количество страниц в альбоме. Тогда

4n(x − 1)+ 16 <81≤ 4n(x − 1)+ 20⇒ 61≤ 4n(x− 1)< 65

4n(y− 1)+ 8< 171 ≤4n(y− 1)+ 12⇒ 159≤ 4n(y− 1)<163

Тогда

n(x− 1) =16, n(y− 1)= 40

Из первого неравенства следует, что $n$ может быть равно $1, 2, 4, 8, 16,$ из второго неравенства — $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.$ Таким образом, $n =8, 4n =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80457Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие наборы чисел $x ,x,...,x 1 2 n+1$ , что $x = x 1 n+1$ и при всех $k= 1,...,n$ выполнено равенство

2 2log2xk⋅log2xk+1 − log2xk =9.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, выражение слева от знака равенства очень напоминает квадрат разности. Действительно, так оно и есть! Давайте часть логарифмов перенесём в другую сторону, добавим к обоим частям уравнения кое-что и получим настоящий квадрат разности!

Подсказка 2

Теперь внимательно посмотрим на получившуюся формулу. Действительно, квадрат суммы всегда неотрицателен, значит все логарифмы в последовательности по модулю ≥ 3. Нетрудно доказать, что если хотя бы один из логарифмов равен 3, то все остальные тоже равны 3, аналогично если хотя бы 1 равен -3, то все другие тоже равны -3.

Подсказка 3

Но что же делать, если какой-то логарифм строго больше 3. Как-то сложно разбираться с таким случаем. Давайте попробуем доказать, что такого не бывает. Для этого представим, что какой-то логарифм строго больше 3 и выпишем цепочку неравенств, которая из этого следует.

Показать ответ и решение

Можно переписать данное уравнение так:

2 2 log2xk+1− 9 =(log2xk− log2xk+1)

Отсюда следует, что $|log x |≥3 2 k+1$ для любого $k$ от 1 до $n$ и так как $x = x n+1 1$ , то $|log x|≥ 3 2 k$ верно для любого $k$ . Заметим, что если $log2xt =3$ для некоторого $t$ , то $9+log22xt- log2xt+1 = 2log2xt = 3$ , $log2xt+2 = 3$ и т. д. и тогда для любого $k$ верно $xk = 8$ . Аналогично, если $log2t= −3$ для некоторого $t$ , то тогда для любого $k$ верно $1 xk =8$ . Далее будем считать, что $|log2xk+1|>3$ .

Предположим, что для некоторого $k$ верно, что $log2xk >3$ . Тогда из равенства $(2log2xk+1− xk)xk = 9$ следует, что $0 <2log2 xk+1− log2xk < 3< log2xk$ и $0< log2xk+1 < log2xk$ . Отсюда следует, что $log2xk+1$ положительное и больше 3. Аналогично, из этого следует, что $0< log2xk+2 < log2xk+1$ , $log2xk+2$ положительное и больше 3 и т. д. Но тогда

log2 xk <log2xk+1 <...<log2 xn+1 =log2x1 <log2 x2 <...log2xk−1 <log2xk?!

Аналогично, в случае когда для некоторого $k$ верно, что $log2xk < −3$ , то для последующих $xk+1,...$ будет последовательно устанавливаться, что $log2xt+1 > log2xt$ , $xt+1$ отрицательное и меньше -3.

Ответ:

$(8,8,...,8),(1,1,...,1) 8 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92338Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше: $┌││--∘--∘---∘-------- ∘13 19 13 19√13... ◟-------◝◜-------◞ 2017знаковкорня$ или $133∘19 13$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как-то очень много корней слева... Попробуйте возвести оба числа в квадрат.

Подсказка 2

Сократите одинаковые множители и возведите оба числа еще раз в квадрат.

Подсказка 3

А меняется ли после возведений в квадрат и сокращений правое число?

Показать ответ и решение

┌│--∘--∘------------ --- │∘ ∘ --√---- 3∘19 ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2017знаковкорня

Возведём обе части в квадрат:

∘ --∘----------- ∘--- ∘--√---- 2 3 192 13 19 13 19 13... ? 13 132

∘ -∘------------ ∘--- ∘ --√---- 3192 19 13 19 13... ? 13 132

И ещё раз в квадрат:

∘ -∘-------- ∘ --- 19 13 19√13-... ? 132 3 194 134

∘----------- ∘ --- 19 13∘ 19√13... ? 13⋅19⋅ 3 19 13

┌│--∘--∘------------ │∘ ∘ --√---- 3∘19- ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2015знаковкорня

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

-- ∘ --- √ 13 ? 133 19 13

Возведём обе части в 6-ую степень:

133 ? 136⋅ 192 132

1 <13⋅192

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Ответ:

$3∘ 19- 13 13$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#102396Максимум баллов за задание: 7

Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3,$ а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3.$

(a) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?

(b) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Какой должна быть сумма цифр чисел, нравящихся Андрею?

Пункт а, подсказка 2

Посмотрите на остатки цифр, которые можно использовать. Попробуйте разбить их на множества.

Пункт б, подсказка 1

Рассмотрите возможные числа. Есть ли среди них похожие?

Пункт б, подсказка 2

Можно ли, например, заменить в некотором числе несколько цифр и получить другое подходящее число?

Показать ответ и решение

(a) Искомые числа должны быть составлены из цифр $1,2,4,5,7,8$ , причём по критерию делимости на 3 в каждом числе сумма цифр не должна быть кратной трём. Цифры 1, 4 и 7 (назовём их цифрами множества $A$ ) при делении на 3 дают остаток 1, а цифры $2,5,8$ (цифры множества $B$ ) остаток 2. Значит, удовлетворяющее условию число должно быть составлено одним из следующих способов:

1) 4 цифры из множества $A$ — таких чисел $34$ ;

2) 4 цифры из множества $B$ — таких чисел $34$ ;

3) 3 цифры из множества $A$ и одна цифра из множества $B$ — таких чисел $4⋅34$ ;

4) 3 цифры из множества $B$ и одна цифра из множества $A$ — таких чисел $4⋅34$ .

Всего таких чисел $10 ⋅34 =810$ .

(b) Для поиска общей суммы цифр всех этих чисел разобьём их на пары: второе число получается из первого заменой всех цифр по принципу $1↔ 8, 2 ↔ 7, 4↔ 5.$

Например, число 1545 имеет пару 8454, число 5271 имеет пару 4728 , и т. д.

Сумма цифр любой пары равна $9⋅4$ , а число таких пар равно $10⋅34- 2$ . Значит, искомая сумма всех цифр равна

9⋅4⋅10⋅34- 6 2 = 20 ⋅3 =14580

Ответ:

(a) 810

(b) 14580

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема