Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .07 Ломоносов 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Ломоносов до 2010

Ломоносов 2010

Ломоносов 2011

Ломоносов 2012

Ломоносов 2013

Ломоносов 2014

Ломоносов 2015

Ломоносов 2016

Ломоносов 2017

Ломоносов 2018

Ломоносов 2019

Ломоносов 2020

Ломоносов 2021

Ломоносов 2022

Ломоносов 2023

Ломоносов 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#58037

В ящике лежат сто разноцветных шариков: $28$ красных, $20$ зелёных, $13$ жёлтых, $19$ синих, $11$ белых и $9$ чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее $15$ шариков одного цвета?

Источники: Ломоносов-2015, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть мы взяли каждого цвета не более $14$ шариков. Тогда получаем суммарное количество $9+ 11 +14+ 14+13+ 14= 75$ шариков, при этом каждого цвета менее $15$ , то есть такое количество нам не подойдёт. Если взять хотя бы $76$ , то количество шариков, которых меньше $14$ , не может быть больше, поскольку мы взяли их все. Поэтому будет больше хотя бы одного цвета, шариков которого мы взяли $14$ штук. Тогда этого цвета будет хотя бы $15$ и такое количество нам подойдёт.

Ответ: 76

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63893

Отрезок $AB = 8$ пересекает плоскость $α$ под углом $30∘$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$ . Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $α$ по окружности наименьшего радиуса.

Источники: Ломоносов-2015, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначив точку пересечения $AB$ с плоскостью $α$ через $C$ , получим $AC =2,BC = 6$ . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через $C$ диаметр $MN$ этой окружности.

$PIC$

Тогда $AB$ и $MN$ — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: $MC ⋅CN = AC ⋅CB = 12$ . Так как $------- - MN = MC + CN ≥2√MC ⋅CN =4√ 3$ , то минимальный радиус окружности больше или равен $- 2√3$ и значение $- 2√ 3$ достигается при $MC =CN =2√3$ , то есть $C−$ центр этой окружности. Так как $∠COP = 90∘− ∠OCP = ∠NCP = 30∘$ , то $OC =2⋅CP.$ При этом $CP = AB2-− AC = 2.$ Значит, $R2 =OM2 =MC2 + OC2 = 12 +42 = 28.$

Ответ:

$2√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75749

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80514

Найдите главный (наименьший положительный) период функции

−5 y = (arcsin(sin(arccos(cos3x)))) .

Показать ответ и решение

Заметим, что

( π) −5 −5 y x+ 3 = arcsin(sin(arccos(cos3x+ π)))) = arcsin(sin(arccos(− cos3x)))) =

= arcsin(sin(π− arccos(cos3x))))−5 = arcsin(sin(arccos(cos3x)))−5

если заменить $x$ на $π x+ 3$ , то ничего не изменится. Значит, период $π- a= 3n$ . Если $n ≥2$ , то $π a≤ 6$ и $−5 −5 y(a)=(arcsin(sin(arccos(cos3a)))) = (3a) = y(0)= 0$ . Значит, $π a= 3$ .

Ответ:

$π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91249

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD,$ пересекающий $AC$ в точке $O.$ Найдите $AO$ , если $AB = 4,OC =6.$