Ломоносов - задания по годам → .06 Ломоносов 2014
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары 
, при которых множество решений неравенства 
совпадает с промежутком
.
Источники:
Заметим, что 
имеет не более двух корней, поскольку её вторая производная всегда положительна. Если
не входит в ОДЗ, то 
не могут быть решениями, потому возможны два случая
-
не входит в ОДЗ, тогда 
, потому что ОДЗ 
, а любой 
лежит в решениях, но не 
. Тогда при
достигается равенство, поскольку функции с обеих сторон непрерывны (иначе единица также входила бы в решение)
Если
, то логарифм стремится к 
, тогда как в левой части в пределе будет 
, тогда нужное неравенство не
выполняется и этот случай нам не подходит.
-
входит в ОДЗ и 
. В этом случае решениями являются оба конца промежутка
Поскольку
имеет положительную вторую производную и непрерывна, то отрицательна она только на промежутке между
этими корнями (на бесконечности она положительна, как и при 
), то есть найденные значения подойдут.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от 
до 
Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр.
Пришла Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 
однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?
Источники:
Первое решение.
При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на 
. Поскольку все выписанные числа были положительными, то 
получиться не может и если число было кратно 
, то вместо него останется цифра 
. Поэтому остаётся посчитать количество остатков
каждого вида.
Заметим, что 
кратно 
, 
, тогда если взять числа от 
, до 
, то получится 
подряд набора вида 
,
сумма всех полученных чисел будет равна 
Но мы не брали числа 
и 
, потому нужно вычесть из суммы 
, откуда и
получаем ответ 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Число 
и сумма цифр числа 
при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел:
, 2 , и так далее. Так как 
, то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и
будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильную треугольную призму 
вписан шар радиуса 
. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар
прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку 
и середины рёбер 
и
Источники:
Обозначим через 
радиус шара, а через 
и 
— середины рёбер 
и 
соответственно. Плоскость 
есть центральное сечение шара. Пусть 
— высота цилиндра, тогда радиус его основания равен 
. Пусть 
—
точка пересечения отрезков 
и 
. Справедливы соотношения 
, где 
центр шара.
Если 
— проекция точки 
на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников 
и 
получаем
Тогда
Значит, 
. Площадь боковой поверхности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямоугольная таблица состоит из 
одинаковых клеток. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами 
подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а Вася по столбцам сверху вниз
(сначала первый столбец, затем второй и т. д.). Оказалось, что ровно в 
клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и
числа столбцов в этой таблице?
Пусть в таблице 
строк и 
столбцов, а клетка, получившая одинаковые номера, расположена в строке с номером 
и в столбце с
номером 
Тогда, если считать по строкам, в этой клетке стоит число 
а если считать по столбцам, то это 
Следовательно, 
что равносильно 
Если 
или 
то номера Пети и Васи совпадут во всех клетках. Значит, 
и 
Пусть 
тогда
где 
Получаем 
Поэтому 
так
как 
аналогично с 
Следовательно, количество клеток, получивших одинаковые номера, равно
Так как 
то 
или, наоборот, 
(чтобы убедиться, что других вариантов нет,
достаточно перебрать остатки по модулю 4). В любом случае, 
