Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .05 Ломоносов 2013

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47042Максимум баллов за задание: 7

В коробке у Маши лежат $25$ новогодних шаров, которыми Маша начинает украшать елку. Каждый шар она сначала в течение $10$ с выбирает в коробке, а затем в течение $15$ с вешает на елку. Два ее младших брата Саша и Паша незаметно снимают шары с елки и прячут среди своих игрушек. Дождавшись момента, когда Маша начинает искать в коробке очередной шар, один из братьев (но не оба) может снять с елки один шар, на что ему требуется ровно $10$ с. После этого на то, чтобы спрятать украденный шар, у Саши уходит 50 с (после чего он готов красть с елки следующий шар), а у Паши — $1$ мин и $50$ с. Какое наименьшее число шаров может висеть на елке в тот момент, когда Маша повесит свой последний шар?

Источники: Ломоносов-2013, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала стоит понять, что нас волнует только общее время, которое уходит у каждого человека на совершение полной последовательности действий, которая циклически повторяется. Для Маши, например, это «выбирает шарик, потом вешает на ёлку». Кроме того, надо подумать, всегда ли братья могут красть шарики?

Подсказка 2

Вообще говоря, не всегда, ведь во время первого цикла Маши шаров на ёлке ещё нет! Тогда воровать ребята могут в любой из 24 циклов. Вопрос задачи намекает на то, что надо как-нибудь оценить, какое наибольшее количество шаров может украсть каждый мальчик.

Подсказка 3

Мальчики воруют во время Машиных циклов, поэтому логично найти, какое количество циклов Маши уходит на одно воровство для каждого мальчика. Тогда уже можно сделать оценку, а дальше обязательно привести пример!

Показать ответ и решение

Назовём циклом следующую последовательность действий — Маша вытаскивает шар из коробки, а затем вешает его на ёлку. По условию один цикл длится $25$ секунд, при этом Саша и Паша могут снимать шары с ёлки только в начале цикла (в те самые $10$ секунд поиска шарика в коробке). Также всего было $25$ циклов, в течение первого из них ребята не могут воровать шары, потому что их нет. Кроме того, они не могут взять больше шаров, чем висит на ёлке и в другие моменты времени — выполнение этого условия для примера предлагается проверить читателю.

Итак, у Саши на одно вороство уходит $3$ цикла, поскольку за те $60$ секунд, что он ворует и прячет шарик, Маша успевает найти три шара и начать вешать третий из них. Аналогично Паше требуется $5$ циклов. Воровать каждый из них может в любой из $24$ циклов, не считая первого, тогда Саша украдёт не более $8$ шаров, а Паша — не более $5$ . В итоге шаров останется как минимум $12$ .

Остаётся привести пример. Пусть Саша ворует шары в начале $2,5,9,12,15,18,21,24$ циклов, а Паша — в начале $3,8,13,19,25$ циклов. Нетрудно видеть, что разнциа между номерами циклов соответствует скорости ребят.

Ответ:

$12$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47067Максимум баллов за задание: 7

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#48593Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 3 logx2+4x+3(x− 4) ⋅log−x2+3x+4(3− x) ≤ 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хорошим действием было бы найти область определения. Тогда, когда мы будем работать с аргументами логарифмов, мы сможем сразу учесть их знак.

Подсказка 2

Да, (х-4)² после вынесения степени преобразуется в 4-х, (3-х)³ - в 3-х. Теперь вспомним, что на ОДЗ log_a(b) имеет такой же знак, что и выражение (a-1)(b-1). Сделаем так с двумя логарифмами.

Подсказка 3

Правильно располагаем корни на числовой прямой при решении методом интервалов и не забываем про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 3 log(x+1)(x+3)(x− 4) ⋅log−(x−4)(x+1)(3− x) ≤ 0

Отсюда ОДЗ: $x <3,x ∕∈ [−3,−1],x ∈(−1,4),x2+4x+ 3⁄= 1,x2 − 3x− 4⁄= −1$ . То есть $x ∈(−1,3)$ и $x2+ 4x +2,x2− 3x − 3⁄= 0$ .

Здесь $x− 4< 0$ , потому можно преобразовать неравенство

logx2+4x+3(4− x)⋅log−x2+3x+4(3− x)≤0

Применим метод рационализации, выражение слева можно заменить на

2 2 (x + 4x+2)(3 − x)⋅(−x + 3x +3)(2− x)≤ 0

√ - √ - ( 3− √21)( 3+ √21) (x+ 2− 2)(x+ 2+ 2)(x− 3)(x− 2) x− --2--- x− --2--- ≥ 0

Осталось упорядочить корни, учесть, что $x ∈(−1,3)$ и заключить $√-- x ∈(3−221,√2-− 2)∪ [2,3)$ . Здесь $√2 − 2,3$ исключаются, поскольку не входят в ОДЗ.

Ответ:

$(3−√21;√2-− 2)∪ [2;3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#60540Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если числа $x,y$ и $z$ — целые, то число

1( 4 4 4) 2 (x − y) +(y− z)+ (z− x)

является квадратом некоторого целого числа.

Источники: Ломоносов-2013, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что сумма выражений под четвёртыми степенями равна нулю. Тогда как вместо трёх неизвестных сделать две?

Подсказка 2

Можно обозначить числа в скобках как a, b, -(a+b). Теперь раскройте четвёртую степень суммы a+b и поразмышляйте, квадратом какого числа может быть выражение из условия

Подсказка 3

Оно симметрично от перестановки a и b, при этом имеет четвёртую степень. Значит, надо пробовать собирать квадрат какого-то симметричного многочлена от a и b второй степени. Используйте сумму квадратов и произведение чисел ab

Показать доказательство

Первое решение.

Обозначим $a =x − y,b= y− z,c= z− x.$ Видно, что $a +b+ c= 0.$ Тогда надо понять, почему число

1 4 4 4 2(a + b +(−a− b))=

1 = 2(a4+ b4+ a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4) =a4+ 2a3b+ 3a2b2+ 2ab3+ b4

является полным квадратом. Утроенное произведение $a2b2$ разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

(a4+ a3b+a2b2)+(a3b +a2b2 +ab3)+(a2b2+ ab3+b4)=

=a2(a2 +ab+ b2)+ ab(a2+ ab+b2)+b2(a2+ ab+ b2)=

= (a2 +ab+ b2)2

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

$1 4 3 22 3 4 4 3 22 3 4 2(x − 4x y+ 6xy − 4yx +y + y − 4y z+ 6yz − 4zy +z + +z4− 4z3x+ 6x2z2− 4x3z +x4)= =x4+ y4+ z4+3(x2y2+ z2y2+x2z2)− 2(x3y +y3x+ z3x +x3z+ y3z +z3y)$

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом $2 2 2 x ,y,z ,xy,zy,xz$ , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат $2 2 2 x +y + z − xy− zx− zy$ , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых $x2,y2,z2,xy,zy,xz$ , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для $x2$ и $y2$ или для $xy$ и $zy$ , ведь это испортило бы симметрию!

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#78844Максимум баллов за задание: 7

Сколькими различными способами можно выбрать целые числа $a,b,c∈[1;100]$ так, чтобы точки с координатами $A (− 1,a)$ , $B(0,b)$ и $C (1,c)$ образовывали прямоугольный треугольник?

Источники: Ломоносов-2013, 9.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что приходит в голову, когда слышишь прямоугольный треугольник это теорема Пифагора, так давайте же её применим, ведь все координаты вершин нам даны, а значит, мы можем найти все стороны треугольника.

Подсказка 2

Чтобы её применить, нужно определиться, какая сторона будет гипотенузой, давайте начнём с AC. Попробуйте разбить полученное выражение на произведение скобок, равное какой-то константе, ведь тогда мы сможем применить знания из теории чисел, чтобы правильно посчитать кол-во таких треугольников.

Подсказка 3

В случае, когда гипотенуза равна AC, получим (b-a)(b-c) = 1, откуда получим, что каждая из скобок равна либо 1, либо -1, подумайте, как посчитать кол-во треугольников, которое получится в данном случае. Какие треугольники задаются при (b-a) = 1 и (b-a) = -1, а что нужно зафиксировать, чтобы получить треугольник, в одном из этих случаев?

Подсказка 4

Во-первых, нам повезло, что полученные 2 случая: с произведением равным 1 и равным -1, дают нам разные треугольники, а значит мы их просто сложим в конце, а во-вторых, когда мы фиксируем одно из чисел, то остальные однозначно получаются из заданных нами уравнений, а значит нам достаточно найти границы на одно из чисел так, чтобы остальные тоже попадали в заданные границы [1;100]. Остальные случаи убиваются так же быстро.

Показать ответ и решение

$AB2 = 1+(b− a)2, BC2 = 1+(c− b)2, AC2 =4+ (c− a)2.$

Если треуогльник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$ , то по т.Пифагора

2 2 2 AC = AB +BC

1+ (b− a)2+1+ (b− c)2 = 4+(a− c)2

что приводится к виду $(b− a)(b − c)= 1$ . Так как оба множителя — целые числа, имеем только такие случаи: $b= a+1 =c+ 1$ и $b= a− 1= c− 1$ , для каждого из которых есть $99$ троек $(a,b,c)$ , т.е. всего $198$ способов.

Если гипотенузой является сторона $AB$ , то аналогично получаем соотношение $(c− a)(c− b) =−2$ , что возможно только в следующих случаях:

c =a+ 1= b− 2

c =a− 1= b+ 2

c =a+ 2= b− 1

c =a− 2= b+ 1

для каждого из которых есть $97$ троек $(a,b,c)$ , т.е. всего $97⋅4= 388$ способов.

Если гипотенузой является сторона $BC$ , то получаем соотношение $(a − b)(a− c)= −2$ . Аналогично предыдущему, находим $388$ способов.

Всего получаем $198+ 388+ 388= 974$ способов.

Ответ: 974

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89257Максимум баллов за задание: 7

На покраску дома жёлтой краски потребовалось больше, чем белой, на $20%$ , а коричневой краски — на $25%$ меньше, чем жёлтой. На сколько процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше, чем белой?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично, что если мы хотим сравнивать величины, то нужно их выразить через общую переменную. Подумайте, объем краски какого цвета будет удобнее всего здесь обозначить за эту неизвестную.

Подсказка 2

Пусть x – количество белой краски. Сколько тогда было потрачено желтой и коричневой краски, если выражать эти величины тоже через x?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – количество белой краски. Тогда желтой краски потребовалось $6x, 5$ а коричневой $3⋅ 6x= 9x. 4 5 10$ Отношение общего количества коричневой и желтой краски к количеству белой краски равно

( 9x 6x) 210 10 + 5 :x = 100.

Ответ: на 110 %

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91250Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ , где $BC ∥AD,$ а диагонали пересекаются в точке $O,$ на отрезке $BC$ выбрана такая точка $K,$ что $BK :CK = 2:3,$ а на отрезке $AD$ выбрана такая точка $M,$ что $AM :MD =3 :2.$ Найдите площадь треугольника $COD,$ если $AD = 7,BC =3,KM =6,$ a $1 cos∠CAD = 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана трапеция, а также некоторые отношения. Это явный намёк на подобные треугольники!

Подсказка 2

Проведите прямую KO и поймите, где она пересечет сторону AD.

Подсказка 3

Постройте CH перпендикулярно AD.

Подсказка 4

Выразите S(COD) через площади других фигур.

Показать ответ и решение

$PIC$

Вначале докажем, что отрезок $KM$ проходит через точку $O$ . Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны, а значит,

DO AO AD 7 BO- = CO-= BC-= 3

Проведём прямую $KO$ и обозначим точку её пересечения с отрезком $AD$ через $N$ . Треугольники $DON$ и $BOK$ подобны, а значит,

DN- = DO = NO-= 7 BK BO OK 3

Аналогично,

AN-= AO-= 7 CK CO 3

Поделим первое из этих равенств на второе и получим

DN- = BK- AN CK

т.е. точка $N$ совпадает с точкой $M$ , а значит, отрезок $KM$ совпадает с отрезком $KN$ и проходит через точку $O$ .

По условию

6 9 21 14 BK = 5;CK = 5;AM = 5 ;DM = 5

В силу подобия треугольников, $KO :OM = 3:7$ , откуда

9 21 KO = 5;OM = 5-

Найдем $AO$ из теоремы косинусов в треугольнике $AOM :$

OM2 =AM2 + AO2 − 2⋅AO ⋅AM ⋅cos∠CAM

42 AO = 25

Тогда $CO = 37AO = 1285$ , а $AC = 152$ . Высоту трапеции $CH$ можно найти из прямоугольного треугольника:

√- CH = ACsin∠CAD = 24-6 25

В силу подобия, высоты в треугольниках $AOD$ и $BOC$ равны, поэтому

-7 84√6 10CH = 125

3 36√6 10CH = -125-

Тогда можно найти площадь трапеции и площади треугольников $AOD$ и $BOC$ :

√- √ - SABCD = 1(3+ 7)24-6 = 24--6 2 25 5

7 84√6 294√6- SAOD = 2 ⋅-125 =-125-

√- √- SBOC = 3 ⋅ 36-6= 54-6 2 125 125

Поскольку в любой трапеции площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, окончательно получаем

√- SCOD = 1(SABCD − SAOD − SBOC)= 126-6 2 125

Ответ:

$126√6 125$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#96563Максимум баллов за задание: 7

Блоха прыгает по числовой прямой, причём длина каждого прыжка не может быть меньше $n.$ Она начинает свое движение из начала координат и хочет побывать во всех целых точках, принадлежащих отрезку $[0;2013]$ (и только в них!) ровно по одному разу. При каком наибольшем значении $n$ это у неё получится?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте оценить n сверху.

Подсказка 2

Может ли возникнуть такая ситуация, что блоха прыгнула в некоторую точку единственным возможным образом, и больше не может ходить ни вперед, ни назад?

Подсказка 3

Рассмотрите n ≥ 1007 и точку 1007.

Подсказка 4

Значит, n < 1007. Сделайте перебор сверху-вниз.

Показать ответ и решение

Докажем, что n не может быть больше 1006. Действительно, если $n≥ 1007,$ то в точку с координатой 1007 можно попасть только из начала отрезка. Но если блоха прыгнет из точки 0 в точку 1007, то вперёд она прыгнуть не может, так как $1007+ 1007> 2013,$ но и обратно прыгнуть блоха тоже не может, следовательно, должна закончить свой путь в этой точке и не побывать в других.

При $n =1006$ подходит, например, такой путь:

0−→ 1007 −→ 1−→ 1008 −→ 2−→ ...−→ 1006−→ 2013

Ответ:

1006

Предыдущая подтема

Следующая подтема