Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .04 Ломоносов 2012

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31287Максимум баллов за задание: 7

В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?

Источники: Ломоносов-2012, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть подарков первого типа a, а второго типа - b. Тогда пряников всего 4a + 3b, а конфет - 9a + 11b. И мы также знаем, что все пряники можно распределить на 17 детей. Что это значит на языке остатков?

Подсказка 2

Это означает, что 4a+3b = 0 по модулю 17. Попробуем выразить a через b по модулю 17: 4a = -3b (mod 17). Вот на что теперь можно умножить это выражение, чтобы слева вышло просто a?

Подсказка 3

Можно на -4) Получится -16a = 12b (mod 17), что равносильно a = 12b (mod 17). Теперь осталось подставить это равенство в выражение 9a+11b и найти его по модулю 17)

Показать ответ и решение

Пусть подарков первого вида $x$ , а второго — $y$ , тогда $a =4x+ 3y$ кратно 17, а спрашивают нас про $b=9x +11y$ . Заметим, что $2a+ b= 17(x+ y)$ , то есть $2a+ b ≡170=⇒ b ≡170$ , так что такого случиться не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы

( ) 4 9 3 11

равен $17$ . По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор ( $x$ , $y$ ) и получается ( $17m$ , $n$ ), откуда из целочисленности $x$ сразу следует, что $11⋅17n − 3⋅m$ делится на 17.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38687Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения уравнения

|| πx|| |arcsin(cos4)− 2|= 4.

Источники: Ломоносов-2012, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем arcsin(cos(4)). Можно ли привести это выражение к более приятному виду.

Подсказка 2

Попробуйте превратить косинус в синус с помощью формул приведения.

Подсказка 3

cos(t) = sin(π/2 - t) = sin(π/2 + t) = sin(t - 3π/2).

Подсказка 4

Выходит, что arcsin(cos(4)) = 4 - 3π/2. Осталось только раскрыть модуль.

Показать ответ и решение

Поскольку $arcsincos4∈ [− π,π] 2 2$ , то $arcsin cos4= 4− 3π 2$ (пользуемся тем, что $cost= sin(π − t)= sin(t+ π)= sin(t− 3π) 2 2 2$ ). Тогда

||(3+ x)π || 3 +x 16 ||--2---− 4||=4 ⇐ ⇒ --2-π =0,8 ⇐⇒ x∈ {−3,π-− 3}

Ответ:

$− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67153Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(3 ) (2 )2 4 x − x = x +1

Источники: Ломоносов, 2012, 8--9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд в голову приходит только раскрытие скобок. Что ж, здесь это сделать просто, поэтому сделаем это)

Подсказка 2

Хм, многочлен четвёртой степени... Такое просто так не решишь. Разложить на множители не получается. Можно заметить, что коэффициенты этого уравнения с точностью до знаков симметричны! Но пока не особо понятно, как это может помочь( А давайте подумаем над следующей идеей: может, можно привести это уравнение к квадратному? Сразу это сделать не получается, но можно, например, преобразовать этот многочлен так, чтобы максимальная степень была равна 2...

Подсказка 3

Сделать это можно, разделив уравнение на x², предварительно заметив, что x ≠ 0. А теперь можно погруппировать слагаемые, так как теперь вся надежда на замену!

Подсказка 4

Ура, здесь можно сделать замену t = x - 1/x. Остаётся только решить получившееся квадратное уравнение и сделать обратную замену! Подобные уравнения, в которых коэффициенты симметричны, часто решаются с помощью деления на x², запомните этот приём)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

4 3 2 x − 4x + 2x + 4x+ 1= 0

$x= 0$ не является корнем уравнения, поэтому поделим обе части на $x2 :$

2 4 1- 2 -1 ( 1) x − 4x+ 2+ x + x2 = 0⇔ x + x2 − 4 x− x + 2= 0

Сделаем замену $1 t= x− x;$ Тогда $2 2 1- t = x + x2 − 2$ и получаем

t2 +2− 4t+2 =0 ⇔ t=2

Обратная замена:

1 x2-− 2x−-1 √ - x− x = 2⇔ x = 0⇔ x =1 ± 2

Ответ:

$1± √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68198Максимум баллов за задание: 7

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BO$ за точку $O$ пересекает описанную вокруг треугольника $ABC$ окружность в точке $D.$ Найдите угол $B,$ если $OD = 4AC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали прямую, проходящую через центр вписанной окружности, которая пересекает описанную окружность треугольника. Какую тогда теорему можно вспомнить, связанную с такой конструкцией?

Подсказка 2

Верно, здесь можно применить лемму о трезубце. Откуда поймём, что OD = AD =CD. Теперь взглянем внимательно на условие. Нам дали OD=4AC, и выходит, мы знаем все стороны в равнобедренном треугольнике ACD. Вспомним ещё, что сумма противоположных углов в четырёхугольнике равна 180. Как отсюда можно попробовать найти угол B? Какую тогда теорему можно применить к равнобедренному треугольнику ADC?

Подсказка 3

Ага, давайте посчитаем ∠ADC по теореме косинусов. Но мы знаем, что ∠ABC = 180− ∠ADC. Осталось вспомнить, чему равен косинус смежного угла, и победа!

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое решение.

Если $AC =a,$ то по лемме о трезубце $AD = DO = 4a =CD.$ Отсюда по теореме косинусов

2 2 2 cos∠ADC = 16a-+16a-−-a-= 31 2⋅4a⋅4a 32

Так как $ABCD$ — вписанный четырехугольник, то $∠ABC = 180∘− ∠ADC$ и $cos∠ABC = − 3312.$ Значит, $∠ABC = arccos(− 3312).$

Второе решение.

Пусть $M$ — середина $AC$ , тогда $∠DMC = 90∘$ , потому что треугольник $ACD$ равнобедренный. По лемме о трезубце $CD = OD = 4AC =8MC.$ Следовательно, $∠MDC = arcsin1 8$ . Далее нетрудно посчитать:

∠ABC =180∘− ∠ADC = 180∘− 2∠MDC =

( ) = 180∘− 2arcsin 1= 2arccos 1= arccos − 31 8 8 32

Ответ:

$2arccos1 =arccos(− 31) 8 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77013Максимум баллов за задание: 7

В течение дня выставку посетили по одному разу ровно $1000$ человек, причём в любой момент на ней находилось менее $38$ посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?

Подсказки к задаче

Подсказка

Тут я бы посоветовал начать с каких-то примеров. Попробуйте разбить 1000 на сколько-то групп, в которых не более 37 человек. Тогда вы можете сказать, что не получится выбрать больше людей, чем количество этих групп.

Показать ответ и решение

Заметим, что $1000= 37⋅27+1.$ Это означает, что было не менее $28$ посещений. Следовательно можно выбрать $28$ человек из разных посещений. Более $28$ гарантировать нельзя, потому что $1000$ можно разбить на $28$ слагаемых так, что каждое не превосходит $37$ (например, $27$ слагаемых по $37$ и одно — $1$ человек). Тогда если сначала выставку посетят первые $37$ человек, потом — следующие, а в конце — один человек из последнего слагаемого, то по принципу Дирихле не получится выбрать $29$ и более человек (какие-то два окажутся в одной группе).

Ответ:

$28$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80573Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a> 0$ , при каждом из которых из неравенства

2 2 x + y ≤ a

следует неравенство

(|x|+ 3)(|y|+ 3)≤25.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим, чтобы из первого неравенства следовало второе, то нам было бы хорошо построить цепочку неравенств, где второе выражение оценивается сверху первым. Тогда мы сможем как-то связать между собой 25 и a.

Подсказка 2

В каком известном неравенстве присуствуют квадраты чисел? Как добиться того, чтобы в нём появились модули?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Тогда нам нужно, чтобь в одной из его частей извлекался корень из квадрата!

Подсказка 4

Раскройте скобки во втором выражении и попробуйте при помощи неравенства о средних оценить сверху 4|x| (аналогично с y). Тогда мы получим оценку сверху на a! Не забудьте показать, почему другие a не подходят ;)

Показать ответ и решение