Ломоносов - задания по годам → .03 Ломоносов 2011

Покажем, что является биссектрисой угла (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим

______________________________________________________________________________________________________

Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую в точке . Пусть Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных из точки к меньшей окружности, следоваетельно, .

По теореме об угле между касательной и хордой верно, что . Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике , .

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке , переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая пересекает большую окружность в точке , тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке . Таким образом, данная касательная паралельна , то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 3. Пусть — середина меньшей дуги окружности большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке и радиусом . Точки и под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая AB переходит в окружность, проходящую через точки , , и центр окружности инверсии — , то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой и гомотетична своему пробразу с центром в , то есть остается на месте, то есть точка перейдет в точку , а значит, прямая проходит через центр инверсии — .

Оценка. Заметим, что карандаши каждого цвета должны встречаться по крайней мере в четырёх коробках из восьми. Действительно, если карандаши какого-то цвета лежат не более чем в трёх коробках, то в оставшихся коробках (их не менее пяти) карандашей этого цвета нет. Поэтому всего карандашей должно быть не менее

Пример. Если взять по карандаша каждого из цветов и разложить их так, чтобы никакие карандаши одного цвета не лежали в одной коробке, то карандаш любого наперёд заданного цвета найдётся в любых пяти коробках (так как остальных коробок всего три, а мы положили уже в четыре разные коробки).

Требуемая раскладка карандашей получится, например, если все карандаши разбить на группы по карандаша всех цветов и каждую группу разложить поровну (по карандашей) в две ещё не занятые коробки.

Пусть

– бесконечная десятичная дробь. При помощи деления столбиком найдём первую цифру после запятой: После стирания этой цифры получим число

Пусть поезда отправились за часов до момента встречи, и пусть - скорость первого поезда, - скорость второго. Тогда первый поезд прошёл расстояние от пункта до пункта встречи со вторым поездом, а второй поезд прошёл это же расстояние (после встречи с первым поездом) за 9 часов, поэтому . Аналогично второй поезд прошёл расстояние от пункта до пункта встречи, а первый поезд затем прошёл это расстояние за часа, поэтому Перемножая эти два уравнения, получим

Итак, поезда отправились в путь за часов до , т. е. в

Подставим корни и :

Получаем, что уравнение имеет вид , которое имеет корни . Тогда по теореме Безу можем поделить левую часть на и получим

Пусть Так как при и при , то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции уравнение имеет корень.

Но по условию должны быть только корни

Потому либо корнем является единица:

Здесь получаем . Вторая скобка корней не имеет, потому такой набор параметров нам подходит.

Либо корнем является минус единица:

Здесь , так что уравнение будет иметь ещё и корень , что нам не подходит.

Так как с момента встречи их первых вагонов до момента разъезда последних вагонов прошло секунд, то, так как вагоны одинаковые, через каждые секунды разъезжались очередные вагоны. Поэтому через секунд разъехались седьмые вагоны поездов, то есть седьмой вагон одного поезда поравнялся с восьмым вагоном другого. В этот момент третий, Сашин, вагон поравнялся с Валериным вагоном, имеющим номер

Преобразуем исходное уравнение

Заметим, что и одинаковой четности, так как

Поэтому, так как четно, обе скобки тоже должны быть четными. И тогда иначе

но не кратно

Получаем

Поскольку обе скобки положительные, а также

Следовательно, возможны только следующие случаи:

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Подставим оба решения в уравнение

Далее вынесем из многочлена, получим

Вторая скобка представляет собой кубический многочлен, поэтому у неё всегда есть корень, разберём случаи

• Этот корень , тогда , при вынесении получим — вещественных корней у второй скобки нет.
• Если же , то , здесь есть корень , поэтому случай нам не подходит.

ОДЗ :

Сделаем преобразования:

Используя ограничение из ОДЗ, имеем два случая:

1) При

где причем

2) При

Объединяя промежутки, получаем:

Пусть у уравнения всего корней на интервале . Тогда на интервале у уравнения тоже корней, так как на этом интервале пробегает все значения от -1 до 0. Пусть это корни . Заметим, что . Значит, корни у первого уравнения на интервале так соответствуют корням второго уравнения на интервале и значит, у второго уравнения корни на интервале . Из условия мы знаем, что

Отсюда . Заметим, что , поэтому корнями второго уравнения на интервале будут

и их сумма будет

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому спокойно возводим в квадрат, не забыв про ОДЗ

Заметим, что все решения неравенства, удовлетворяющие , будут удовлетворять и , поэтому решать отдельно второе неравенство и находить в явном виде ОДЗ избыточно.

Получаем:

Проведем хорду и общую касательную

Тогда

поэтому и . Следовательно, , т.е. биссектриса треугольника , откуда получаем

С одной стороны, диаметр шара не может быть меньше диагонали основания (квадрата со стороной 14) содержащейся в нем пирамиды, поэтому радиус искомого шара не меньше С другой стороны, шар радиусом с центром в точке пересечения диагоналей основания пирамиды содержит ее вершину, а с ней и всю эту пирамиду, так как ее высота равна