Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .02 Ломоносов 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Ломоносов до 2010

Ломоносов 2010

Ломоносов 2011

Ломоносов 2012

Ломоносов 2013

Ломоносов 2014

Ломоносов 2015

Ломоносов 2016

Ломоносов 2017

Ломоносов 2018

Ломоносов 2019

Ломоносов 2020

Ломоносов 2021

Ломоносов 2022

Ломоносов 2023

Ломоносов 2024

Ломоносов 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63472

Решите неравенство

√- √ -(log3)4−x2 √- √- −(log 2)2x−1 ( 3 − 2) 2 ≤ ( 3+ 2) 3

Источники: Ломоносов-2010, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что интересного можно заметить про основания наших выражений? По свойствам степеней в правой части возведём (√2 + √3) сначала в -1 степень, а потом уже во всё что остаётся.

Подсказка 2

Если верно преобразовать основание в правой части, то перед нами теперь сравнение показательных функций с одинаковыми основаниями. А как мы обычно работаем с такими неравенствами?

Подсказка 3

Как наши основания сравниваются с единичкой: больше они или меньше? В связи с этим, сохраняется ли знак сравнения для показателей степени.

Подсказка 4

Заметим, что новые основания степеней взаимно обратны по свойствам логарифма. А значит мы можем провернуть тот же фокус, что делали с исходным неравенством: в левой части вынесем из показателя степени минус и возведём log₂3 сначала в -1 степень.

Подсказка 5

Снова оценим основания и перейдём к сравнению показателей. Осталось решить обычное квадратное неравенство и задачка убита!

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов $(√3− √2)(√3-+√2-)=3 − 2= 1$ . Поэтому неравенство эквивалентно

√- √- (log 3)4−x2 √ - √ -(log2)2x−1 ( 3− 2) 2 ≤ ( 3− 2) 3

Так как основание степени слева и справа одинаковое и меньше единицы (ведь $(√3− √2)2 = 5− 2√6-< 5− 2√4-=1),$ то неравенство равносильно

4−x2 2x−1 (log23) ≥ (log32)

Остаётся провернуть тот же фокус, используя $log32⋅log23 =1$ . Получим

(log 2)x2−4 ≥ (log 2)2x−1 ⇐⇒ 3 3

Так как $log3 2<log33= 1$

x2 − 4≤ 2x− 1⇐⇒ x2− 2x− 3≤ 0

(x− 3)(x+ 1)≤ 0

В итоге по методу интервалов $x∈[−1,3].$

Ответ:

$[−1;3]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79931

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$ , а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE ∥BC$ и $EF ∥AB$ . Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF,$ если $BF :EF = 2:3?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте подобные треугольники.

Подсказка 2

А есть ли на данной картинке параллелограмм?

Подсказка 3

Как его площадь будет относиться к площади треугольника DEF? А как относятся площади подобных треугольников?

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырёхугольник $BDEF$ — параллелограмм, а треугольники $ADE$ и $EFC$ подобны треугольнику $ABC,$ так как $DE ∥BC$ и $EF ∥AB,$ с коэффициентами подобия, равными

DE-= --2x---= 2 и F-C = -2x---= 3 BC 2x+ 3x 5 BC 2x +3x 5

соответственно. Следовательно, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е. соответственно

SADE-= 4- и SEFC-= -9 SABC 25 SABC 25

Раз $BDEF$ — параллелограмм, то его площадь в два раза бальше площади $DEF$ , при чём площадь $BDEF$ можно посчитать, как разность площади исходного треугольника $ABC$ и суммы площадей треугольников $ADE$ и $EF C,$ в итоге

1 1 1 ( 4 9 ) 6 SDEF = 2SBDEF =2 (SABC − SADE − SEFC) =2 1− 25 − 25 SABC = 25SABC

Ответ:

$-6 25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80196

На доске написан квадратный трёхчлен $x2 +9x+ 47$ . Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при $x$ , после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых действиях Тани, если

(a) $m =2?$

(b) $m =3?$

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

За значением в какой точке x_0 несложно наблюдать, если Таня увеличивает или уменьшает значение многочлена на x_0? Какое значение у многочлена в этой точке сейчас и какие действия должен сделать Ваня, чтобы максимально приблизить его к 0?

Пункт а, подсказка 2

Рассмотрим значение f(x) = x^2 + 9x + 47 в точке 1. Какое оно сейчас? Как может действовать Ваня и насколько сильно можно приблизить значение f(1) к нулю?

Пункт а, подсказка 3

Ваня может всегда уменьшать f(1) и сделать так, чтобы -1 <= f(1) <= 1. Осталось лишь рассмотреть ходы Тани после этого и придумать ответные действия!

Пункт б, подсказка 1

Можно попробовать поиграть за наших героев и подставлять различные иксы. Что можно заметить? Какова связь с нашим m? Может ли обнулиться значение? Найдем какой-нибудь инвариант.

Пункт б, подсказка 2

Обратите внимание, что Ваня своими действиями не влияет на делимость многочлена на 3. А что делать Тане, чтобы не допустить кратности трём?..

Показать ответ и решение

(a) Пусть $f(x)=x2+ 9x+ 47.$ Ваня сможет за конечное количество ходов добиться $f(1)= 0.$ Вначале $f(1)= 1+9 +47= 57.$

Далее каждым своим ходом Ваня может уменьшать $f(1)$ и добиться, чтобы (после его хода) $− 1≤ f(1) ≤1.$ Если Таня сделает $f(1)$ равным нулю (или оно уже равно нулю), то Ваня сразу выиграл.

Иначе Таня вынуждена сделать $f(1) =− 2$ или $f(1)=2$ и опять-таки Ваня выигрывает.

(b) Стратегия Тани — держать коэффициент при $x$ равным 10 или 11.

В этом случае значение многочлена $f(x)$ будет не кратно трем и, следовательно, не равно нулю.

Действительно, многочлены

f(x)= x2+10x+ 2+ 3k и f(x)= x2+11x+ 2+ 3k

не кратны трем при любом целом $x.$

При $x= 3n$ остаток от деления $f(x)$ на три равен 2; при $x= 3n+ 1$ остаток от деления $f(x)$ на три составляет 1 и 2, соответственно; при $x = 3n +2$ остаток от деления $f(x)$ на три составляет 2 и 1, соответственно.

Ответ:

(a) да

(b) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89255

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,04. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на $0,06$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть суммарно вклад составлял y миллионов рублей, из которых x миллионов рублей — первого вкладчика. Перепишите условие задачи в этих терминах.

Подсказка 2

Выразив x, скажите, что первый вкладчик добавил еще k миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Пусть изначально суммарный вклад составлял $y$ миллионов рублей, из них $x$ миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла $x y$ . После того, как первый добавил 1 млн рублей, суммарно вклад составил $(y+ 1)$ млн рублей, из них $(x+ 1)$ — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до $x+1 y+1$ . По условию:

x +1 x y-+1 − y = 0,05

Умножим обе части на $y⋅(y+ 1):$

(x+1)⋅y− x⋅(y+1)= 0,05⋅(y+ 1)⋅y

y− x= 0,05y(y +1)

После того как он снова добавил 1 млн рублей, общая сумма вклада стала равна $(y +2)$ млн рублей, из них $(x+ 2)$ — первого вкладчика. По условию:

x+ 2 x+ 1 y+-2 − y+-1 =0,04

Умножим обе части на $(y+ 1)⋅(y+ 2):$

(x +2)⋅(y+1)− (x+1)⋅(y+2)= 0,04⋅(y+ 1)⋅(y+ 2)

y− x= 0,04(y+1)(y +2)

Тогда:

0,05y(y+ 1)= 0,04(y+ 1)(y+ 2)

0,05y = 0,04(y+ 2)

5y = 4(y+ 2)

y = 8

Из условия:

y− x= 0,05y(y +1)

Получим:

8− x= 0,05⋅8⋅9

x= 8− 3,6

x= 4,4

Если тот же вкладчик добавит ещё $k$ млн рублей, то его доля составит $x+2+k y+2+k$ . При найденных значениях $x$ и $y$ решим относительно $k$ уравнение, составленное из условия задачи:

4,4+2-+k − 4,4+-2= 0,06 8+ 2+ k 8+ 2

64 +10k− 6,4(10+ k)= 0,6(10+ k)

64+10k= 70+ 7k

3k= 6

k= 2

Таким образом, для того, чтобы достичь требуемого, вкладчик должен добавить 2 млн рублей.

Ответ: 2 млн р.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#113670

Решите неравенство

1 1 1 √-−x−-2 − √x-+4-≤1 +∘-(x+-4)(−x−-2).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ:) Какое преобразование сделаем, чтобы избавиться от дробей?

Подсказка 2

Домножим обе части неравенства на корень из произведения! Какие два случая хочется разобрать?

Подсказка 3

Если разность корней отрицательна, то всё хорошо. А как будем решать, если обе части неравенства получились положительными?

Подсказка 4

Возведем обе части в квадрат!

Подсказка 5

Отлично, получилось квадратное уравнение относительно корня из произведения. Осталось решить, сделать обратную замену и не забыть про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x∈ (−4;− 2).$ Домножим обе части на положительное $∘ (x+-4)(−x−-2)$ и получим

√---- √----- ∘ ------------ x +4− − x− 2 ≤ (x+ 4)(−x− 2)+1

Левая часть не положительна при

x+ 4≤ −x− 2

x≤ −3

Значит, при $x∈ (− 4;−3]$ неравенство выполнено. Если же $x ∈(−3;−2),$ то обе части полученного неравенства положительны, то есть его можно возвести в квадрат: