Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

ММО - задания по годам → .08 ММО 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ММО - задания по годам

ММО до 2010

ММО 2010

ММО 2011

ММО 2012

ММО 2013

ММО 2014

ММО 2015

ММО 2016

ММО 2017

ММО 2018

ММО 2019

ММО 2020

ММО 2021

ММО 2022

ММО 2023

ММО 2024

ММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35425

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На какие ещё числа должно делиться наше число? Вспомните известные вам признаки делимости и попробуйте предположить, с чем именно здесь удобно будет работать?

Подсказка 2

Логичнее всего поработать с делимостью на 9 и 11. Но для признака делимости на 11 нам нужна знакопеременная сумма цифр. Как же тут быть, если мы не знаем сколько всего этих цифр в нашем числе?

Подсказка 3

Давайте введём переменные для суммы цифр стоящих на чётных местах и для суммы на нечётных. Сделайте выводы об сумме и о модуле разности.

Подсказка 4

На этом этапе уже можно переходить к небольшому перебору! Только помните, что наши суммы состоят из чётных цифр, поэтому сами чётные.

Показать ответ и решение

Обозначим через $a$ и $b$ сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что $a +b$ кратно 9, а $|a− b|$ кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому $a+ b$ делится на 18, а $|a − b|$ — на 22. Также заметим, что $|a− b|≤ a+ b$ . Если $a +b= 18$ , то $|a − b|= 0$ . Но из этого следует, что $a= b= 9$ , чего не может быть в силу чётности $a$ и $b$ . Если $a+ b≥ 54$ , то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54. Пусть $a +b= 36$ . Тогда $|a − b|=22$ или $|a− b|= 0$ . В первом случае одно из чисел $a$ и $b$ равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае $a= b= 18$ . Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное. Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше $2+ 8⋅4< 36$ .

Ответ: 228888

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#39802

Уравнение с целыми коэффициентами $x4 +ax3+ bx2+ cx+ d= 0$ имеет четыре положительных корня с учетом кратности. Найдите наименьшее возможное значение коэффициента $b$ при этих условиях.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрите, давайте выразим коэффициенты b и d через корни многочлена по теореме Виета! Ага, мы знаем, что они точно целые и не меньше единицы, но попробуем оценить b через d используя то, что они оба - какие-то выражения от корней многочлена.

Подсказка 2

Ага, давайте попробуем оценивать вот такое выражение — b/√d, так как если его записать, с точки значения корней мы получим красивое выражение. Как бы его оценить...

Подсказка 3

Вспомните неравенство о средних и примените для этих 6 слагаемых! Получим оценку b через √d. d у нас минимум 1, попробуем с таким расчетом придумать пример для b!

Показать ответ и решение

По условию уравнение имеет корни, обозначим их $x ,x ,x ,x. 1 2 3 4$

По теореме Виета $x1x2+ x1x3+ ...+ x3x4 =b$ и $x1x2x3x4 = d.$ Корни положительны, так что $b≥ 1,d≥ 1$ (коэффициенты целые). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

x1x2+ x1x3 +...+ x3x4 6∘--------- √ - b=6---------6---------≥ 6 (x1x2x3x4)3 =6 d≥ 6

В неравенстве достигается равенство ( $b= 6$ ) для уравнения $(x − 1)4 = 0 ⇐ ⇒ x4 − 4x3+ 6x2 − 4x+ 1= 0.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79751

Про приведенный многочлен $P(x)= xn+ a xn−1+ ...+ ax +a n− 1 1 0$ с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном $m > 2$ многочлен $P(P (...P(P (x)...))$ имеет действительные корни, причем только положительные. Обязательно ли сам многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причем только положительные?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала по исследуем P(x), попробуйте предположить что-нибудь о корнях P(x) и выяснить, не выходит ли противоречий.

Подсказка 2

Оказывается, что P(x) обязательно должен иметь хотя бы один положительный корень, докажите это.

Подсказка 3

А теперь давайте докажем, что если P(x) имеет отрицательный корень, то и P_m(x) имеет отрицательный корень. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Довольно удобно ввести индукцию по m, при k=1 утверждение, очевидно, верно. Как сделать переход?

Подсказка 5

Поисследуйте наибольшие и наименьшие корни P_k(x) и P(x).

Подсказка 6

Докажите, что найдется такой x₀, что P(x₀)=P_k(x₁)=0, где x₁ наибольший или наименьший корень P_k(x).

Подсказка 7

Завершите доказательство, найдя противоречие с условием!

Показать ответ и решение

Для любого натурального $k >2$ положим $P (x)=P (P(...P(P(x)...)) k$ ( $k$ итераций). По условию задачи $P (x) m$ имеет действительные корни, причем только положительные. Покажем, что $P (x)$ имеет действительные корни, причем только положительные.

Предположим, что $P(x)$ не имеет положительных корней. Тогда $n n−1 P (x)= x + an− 1x + ...+ a0 > 0$ при достаточно больших $x$ и не меняет знак при $x> 0,$ т. е. $P$ переводит положительные числа в положительные. Значит, тем же свойством обладают все многочлены $Pk.$ Это противоречит тому, что у $Pm (x)$ есть положительные корни. Поэтому многочлен $P(x)$ также имеет положительные корни.

Если $P(0)= 0,$ то $Pm (0)= 0.$ Значит, ноль не является корнем многочлена $P(x).$

Предположим, что у $P (x)$ есть и отрицательный, и положительный корни. Докажем методом математической индукции, что тогда при всех натуральных $k$ многочлен $Pk(x)$ также имеет и отрицательный, и положительный корни.

При $k= 1$ утверждение верно. Предположим, что оно верно при некотором $k= j.$ Обозначим через $x1$ и $x2$ соответственно наименьший и наибольший корни многочлена $P(x),$ а через $x3$ и $x4$ соответственно наименьший и наибольший корни многочлена $Pj(x).$ Тогда $x1 < 0,x2 >0,x3 < 0,x4 >0.$

Если число $n$ нечетно, многочлен $P(x)= xn +an−1xn−1+ ...+ a1x +a0$ принимает все значения от $− ∞$ до $0$ на луче $(∞,x1].$ Значит, на этом луче найдется такое число $x5,$ что $P(x5) =x3.$

Если число $n$ четно, многочлен $P (x)= xn+ an−1xn−1 +...+ a1x+ a0$ принимает все значения от $0$ до $+ ∞$ на луче $(−∞, x1].$ Значит, на этом луче найдется такое число $x5,$ что $P(x5)= x4.$ В обоих случаях многочлен $P(x)= xn +an−1xn−1+ ...+ a1x +a0$ принимает все значения от $0$ до $+ ∞$ на луче $[x2,+∞ ).$ Значит, на этом луче найдется такое число $x6,$ что $P (x6)= x4.$ Следовательно, в обоих случаях $Pj+1(x5)=Pj(P(x5))= 0$ и $Pj+1(x6)=Pj(P(x6))= 0.$ При этом $x5 < 0$ и $x6 > 0.$ Утверждение доказано.

Значит, если у $P(x)$ есть и отрицательный, и положительный корни, то у $Pm(x)$ есть и отрицательный, и положительный корни. Пришли к противоречию.

Остается единственная возможность: многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причем только положительные.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98109

На шахматном турнире для $12$ участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали $1$ очко, за ничью — $1 2,$ за проигрыш — $0.$ Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если Вася проиграл только одну партию, то хотя бы сколько у него очков?

Подсказка 2

Если у Васи хотя бы 5 очков, значит у остальных не менее 5.5 очков. А сколько тогда всего очков было разыграно?

Показать ответ и решение

Всего в ходе турнира было сыграно $12⋅11= 66 2$ партий, т.е. разыграно столько же очков. По условию, Вася проиграл одну партию, поэтому с $10$ участниками он сыграл либо вничью, либо выиграл. Значит, он набрал не менее $5$ очков. Тогда каждый из остальных набрал не менее $1 52$ очков, а все шахматисты в сумме набрали не менее $1 1 11⋅5 2 +5 =652$ очков. Это возможно только в случае, если занявший первое место Петя набрал $6$ очков, Вася набрал $5$ очков, а остальные участники — по $1 52$ очков.

Ответ: 1

Предыдущая подтема

Следующая подтема