Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

ММО - задания по годам → .07 ММО 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ММО - задания по годам

ММО до 2010

ММО 2010

ММО 2011

ММО 2012

ММО 2013

ММО 2014

ММО 2015

ММО 2016

ММО 2017

ММО 2018

ММО 2019

ММО 2020

ММО 2021

ММО 2022

ММО 2023

ММО 2024

ММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31504

В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на $20%$ и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?

Источники: ММО-2015, 11.2, автор - М.А.Евдокимов. (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте первоначальную стоимость смартфона переменной и попробуйте порассуждать о делимости. Числа а и 1.2а — целые, что можно о них сказать?

Подсказка 2

Попробуйте дальше порассуждать о числах, которые задают стоимость смартфона: какой может быть последняя цифра такого числа? А в каких пределах лежит эта цена?

Подсказка 3

Внимательные рассуждения по первым двум пунктам должны были помочь вам установить первую и последнюю цифру нашей цены. Самое время записать наши цены в десятичной форме!Помните, их разность тоже должна быть целой — может быть и её выразим?

Подсказка 4

Теперь мы можем сделать вывод о двух оставшихся числах и их делимости на 9. Остался лишь небольшой перебор и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть изначальная сумма была равна $a$ . Значит число $1.2a$ и $0.2a$ целое. Отсюда $a= 0.2a⋅5$ делится на 5. Если последняя цифра числа $a$ равна 0, то число $1.2a$ не более чем трехзначное?! Значит, последняя цифра $a$ равно 5. Тогда $6000> 1.2a≥ 5000$ и $5000> a> 4000$ и поэтому первая цифра $a$ равна 4.

Если $a= 4000+ 100a2+ 10a3 +5$ , то $1,2a =5000+100a3+ 10a2+ 4$ и $0,2a= 999+ 90a2− 90a3 = 999 +90(a2− a3)$ . Раз $a= 0.2a⋅5$ , то оно делится на 9. Сумма первой и последней цифры делится на 9. Значит, нам нужно перебрать все целые четырехзначные числа с первой цифрой 4, последней 5 и делящиеся на 9. Значит, они должны давать остаток 45 при делении на 90. Значит, нам нужно постепенно увеличивать на 90 число 4095.

$a =4095$ . Тогда $1.2a= 4914$ ?!
$a =4185$ . Тогда $1.2a= 5022$ ?!
$a =4275$ . Тогда $1.2a= 5130$ ?!

Заметим, что когда $a$ увеличивается на 90, то $1.2a$ увеличивается на 108. При этом мы хотим, чтобы у числа $1.2a$ последняя цифра была 4. Значит, нам на самом деле нужно число 4095 увеличивать на 450 (чтобы последняя цифра у $1.2a$ оставалась 4).

$a =4095$ . Тогда $1.2a= 4914$ ?!
$a =4545$ . Тогда $1.2a= 5454$ и этот вариант подходит.
$a =4995$ . Тогда $1.2a= 5994$ и этот вариант подходит.

Ответ:

$4545$ или $4995$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40087

Последовательность $(a ) n$ такова, что $a = n2 n$ при $1≤ n ≤5$ и при всех натуральных $n$ выполнено равенство $a +a = a + a . n+5 n+1 n+4 n$ Найдите $a2015.$

Источники: ММО-2015, 11.1, автор - С.Б.Гашков, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Какие-то странные условия, попробуем получить из них что-то хорошее. Если вы знаете что-то про начальные члены последовательности, а еще про то, как они соотносятся с предыдущими, здорово бы было как-то выразить большие члены через члены от 1 до 5. Получить на них какое-то правило.

Подсказка 2!

Давайте напишем. a(n+5) +a(n+1) = a(n+4) + a(n). Заметим, что индексы в обеих частях отличаются на 4. Напишем a6+a2 = a5+a1 = чему-то, что мы уже знаем! Так, а может не только для а6+а2 мы знаем это равенство?

Подсказка 3!

Да, для всех чисел, отличающихся на 4 по номеру, мы поняли их сумму. Теперь вспомним, что мы ищем 2015. К сожалению, 2019 или 2011 мы не знаем. Попробуем получить еще что-то из условия с равенством. Попробуйте сделать так, чтобы и в левой, и в правой части оказалось одинаковое число.

Подсказка 4!

Да, подставим а(n+8) + а(n+4) = a(n+4)+an. Осталось сделать выводы и применить наши полученные знания :)

Показать ответ и решение

Из условия следует

2 2 an+4+ an = an+3 +an−1 = ...= a6+ a2 =a5 +a1 = 5 + 1 =26

А также

an+8+ an+4 =an+4+ an =⇒ an+8 = an

То есть значение $an$ зависит только от остатка $n$ по модулю $8,$ отсюда

a2015 =a7 = 26− a3 = 26 − 32 = 17

Ответ:

$17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89596

Внутри параллелограмма $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $CD = CE.$ Докажите, что прямая $DE$ перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков $AE$ и $BC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Непонятно, как на картинке считать углы, а доказать нужно перпендикулярность. Может быть, будем доказывать какой-то эквивалентный факт?

Подсказка 2

Рассмотрим середину DE, треугольник ECD - равнобедренный, а, значит, отрезок CT перпендикулярен DE.

Подсказка 3

Обозначим за M и N середины AE и BC, итак доказываем параллельность СТ и MN. У нас три середины отрезков на картинке отмечено, надо этим воспользоваться.

Показать доказательство

Обозначим середины $AE, BC$ и $DE$ за $M,N$ и $T,$ необходимо доказать перпендикулярность $DE$ и $MN.$ $DE−$ основание равнобедренного треугольника $DEC,$ тогда его медиана $CT$ является также его высотой. Тогда нам достаточно доказать параллельность $MN$ и $T C.$

$MT$ — средняя линия треугольника $AED,$ то есть равна половине $AD$ и параллельна ему. В свою очередь $NC$ равен половине $BC = AD$ и параллелен $AD,$ а значит $MT$ и $NC$ параллельны и равны по длине, значит $MNCT$ — параллелограмм. А значит $MN$ и $TC$ параллельны.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91094

Будем называть натуральное число почти квадратом, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число. Могут ли $8$ почти квадратов идти подряд?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вам дано 8 последовательных чисел. Подумайте, почему именно 8, а не меньше.

Подсказка 2

Это сделано для того, чтобы они имели разные остатки при делении на 8. Рассмотрите числа 8k, 8k + 1, ..., 8k + 7 в контексте условия задачи.

Подсказка 3

Давайте посмотрим на число 8k + 2. Что вы видите? Конечно, оно делится на 2, но не делится на 4. А что это значит? А про другие числа что можно сказать?

Показать ответ и решение

Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки $2$ и $6$ при делении на $8.$ Они делятся на $2,$ но не делятся на $4,$ так что они обязаны иметь вид $2 2k$ и $2 2m .$ Тогда $2 2 2k − 2m = 4,$ то есть $2 2 k − m = 2,$ что невозможно. Противоречие.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#106838

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли произвольную точку $X,$ а на боковых сторонах — точки $P$ и $Q$ так, что $XP BQ$ — параллелограмм. Докажите, что точка $Y,$ симметричная точке $X$ относительно $PQ,$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC.$